Necesita verificación - Demostrar una matriz hermitiana $(\textbf{A}^\ast = \textbf{A})$ sólo tiene valores propios reales

Question

Prueba: Sea el valor propio $\lambda \neq 0$ como $$\textbf{A}\vec{v} = \lambda\vec{v}$$ $$\Rightarrow (\textbf{A}\vec{v})^\ast = (\lambda\vec{v})^\ast$$ $$\Rightarrow (\vec{v}^\ast\textbf{A}^\ast)=(\lambda^\ast\vec{v}^\ast)$$ Derecho-multiplicar ambos lados por $\color{orangered}{\vec{v}}$$$\Rightarrow ( \vec {v}^ \ast\textbf {A}^ \ast \color {en peligro de extinción}{ \vec {v}} )=( \lambda ^ \ast\vec {v}^ \ast \color {en peligro de extinción}{ \vec {v}} ) $$ $$\textbf {A}^ \ast = \textbf {A} $$ $$\Rightarrow ( \vec {v}^ \ast\textbf {A} \vec {v})=( \lambda ^ \ast\vec {v}^ \ast\vec {v}) $$ $$\Rightarrow ( \vec {v}^ \ast\lambda\vec {v}) = ( \lambda ^ \ast\vec {v}^ \ast\vec {v}) $$ $$\Rightarrow ( \lambda\vec {v}^ \ast\vec {v}) = ( \lambda ^ \ast\vec {v}^ \ast\vec {v}) $$ $$\Rightarrow \lambda = \lambda ^ \ast$$ $$\Rightarrow \lambda\in\mathbb {R}$$

Answer 1

Lo único que falta es señalar que, como $v$ es distinto de cero, también tiene $v^*v\neq 0$ por lo que se puede concluir que $\lambda$ es real.