Semigroup que satisfizo$(xy)^{\pi} = (xy)^{\pi}x$ y principales ideales correctos

Question

Deje $(S,\cdot)$ ser finito semigroup, entonces cada $s \in S$ tiene una única idempotente poder, es decir, existe un menor $i \in \mathbb N$ tal que $s^i$ es idempotente. Es el único idempotente en el subsemigroup generado por $s$. Vamos a denotar este elemento por $s^{\pi}$. Ahora supongamos que en un finito semigroup la siguiente identidad tiene $$ (xy)^{\pi} = (xy)^{\pi}x $$ a continuación, muestran que dos de los principales derecho ideales coinciden iff no generadores de la misma, es decir, $$ xS^1 = yS^1 \quad \textrm{ si } \quad x = y $$ donde $S^1 = S \cup \{ 1 \}$, es decir, $S$ se acueste con una unidad.

No tengo idea de cómo solucionar esto, alguna pista?

Answer 1

Su suposición sobre los ideales es equivalente al hecho de que hay$a,b$ en$S$ tal que$x=ya$ y$y=xb$.

A partir de esto, obtienes$x=xba$, entonces$x=x(ba)^n$, donde$n$ es la potencia idempotente de$(ba)$.

Asumiendo poderes idempotentes, obtenemos$x=x(ba)^n b$, pero podemos reemplazar$x(ba)^n$ por$x$, por lo que finalmente$x=xb=y$.