Los cuaterniones como raíces

Question

Así que, me tropecé con este sitio realmente genial y la última imagen parecía casi como si tuviera estructura 3D. Esto me recordó a otro sitio web en el que vi fotos de la orden-8 Mandelbulb. Me puse a pensar en cómo hacer una versión en 3D de las imágenes de ese primer sitio y se me ocurrieron los cuaterniones.

Sé que $\mathbb{C}$ está cerrado, pero ¿hay alguna forma de tener cuaterniones como raíces de algún polinomio exótico o lo que sea?

Answer 1

Si se permite que los coeficientes del polinomio sean cuaterniones, entonces algunas de las raíces deben ser también cuaterniones. Sin embargo, como no conmutan, hay que representarlas de una forma bonita, preferiblemente como matrices.

Encontrar las raíces de las ecuaciones matriciales no debería ser demasiado difícil, pero tendrás que resolver un sistema de ecuaciones polinómicas no lineales.

Un análogo de las imágenes podría ser utilizar los coeficientes de la matriz, donde cada entrada es -1 o 1?

Answer 2

En realidad todos los cuaterniones son ceros de polinomios cuadráticos con coeficientes reales. Si $q=a+ib+jc+kd$ con $a,b,c,d$ real, entonces $$(x-q)(x-\overline{q})=x^2-2ax+(a^2+b^2+c^2+d^2)$$ tiene $q$ como un cero, y también tiene coeficientes reales. Aquí $\overline{q}=a-ib-jc-kd$ es el cuaternión "conjugado".

En cierto sentido, los cuaterniones son sólo un montón de copias de $\mathbf{C}$ apuntando en diferentes direcciones. Todas las copias comparten el eje real, pero podemos girar libremente el eje "imaginario" en el espacio 3D abarcado por $\{i,j,k\}$ . Siempre que $b^2+c^2+d^2=1$ el cuaternión $u=ib+jc+kd$ satisface la ecuación $$u^2=-1.$$ Así, $u$ puede tomar el papel del número complejo $i$ en el sentido de que el mapeo $x+iy\mapsto x+uy$ , ( $x,y\in\mathbf{R}$ ) es un monomorfismo de anillos del número complejo a los cuaterniones, por lo que su imagen es una copia de $\mathbf{C}$ .

(Sí, los cuaterniones son algo más que "un montón de copias de $\mathbf{C}$ ', pero a efectos de que sean ceros de polinomios con coeficientes reales basta con este punto de vista).