Volumen de la proyección del cubo de la unidad en un hiperplano

Question

Deje $C_n\subset\mathbb{R}^n$ $n$- dimensional del cubo con la cara $1$, y deje $P_k$ cualquier $k$-plano dimensional, $k\leq n$. ¿Cuál es la máxima $k$volumen $V_{n,k}$ de la proyección de la $C_n$$P_k$?

Evidentemente, el área mínima debe ser $1$, obtenida por la toma de $C_n = [0,1]^n$ y proyectándola en $\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n|x_{k+1}=\ldots=x_n=0\}$. Creo que el máximo debe ser obtenido proyectando algo ortogonal a una de las máximas de las diagonales del cubo, pero no he encontrado ninguna prueba de esto, ni una fórmula para el volumen obtenido.

Estoy interesado en particular en el caso de $k = n-1$.

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Tengo una cota superior para $V_{n,k}$.

Podemos inscribir $C_n$ $n$- bola de radio $\sqrt{n}$. La proyección de una esfera en un $k$-plane es un $k$-bola de radio $\sqrt{n}$ que contiene la proyección de $C_n$. Su volumen es de $$V(n,k) = \frac{(n\pi)^\frac{k}{2}}{\Gamma\left(1+\frac{k}{2}\right)}\geq V_{n,k}$$ donde $\Gamma$ es la función Gamma.

Conjetura: Como $n,k$ llegan a ser grandes tenemos la asymptotical comportamiento de $V(n,k)\sim V_{n,k}$.

Habría alguien de cuidado para tratar de demostrar esto, si no para resolver el problema inicial?

Suponiendo que la conjetura para ser verdad, tenemos la asymptotical comportamiento de $V(n,k)$ dada por la estimación del volumen de la $k$-bola de $k\gg 1$: $$V_{n,k}\sim V(n,k)\sim\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{2\pi e}{k}\right)^\frac{k} {2}n^\frac{k}{2}$$ como $n,k\rightarrow\infty$.

Answer 1

Según lo sugerido por @AlexanderShamov, existe la siguiente fórmula para $k=n-1$: vamos a $u$ ser una unidad vector normal a la hyperplane, entonces el área de la proyección está dada por la fórmula: $$\sum_{i=1}^n|\left<u,e_i\right>|=\sum_{i=1}^n|u_i|=\|u\|_1$$ donde $e_i$ indica el $i$^th base de vectores (esta es una adaptación de la fórmula más general (1.2) se encuentra en el papel de la Proyección de los Cuerpos, por J. Bourgain y J. Lindenstrauss para nuestro caso simple). Queremos encontrar los extremos de esta fórmula para $u\in S^n$. Vamos a utilizar multiplicadores de Lagrange: $$L(u,\lambda)=\|u\|_1-\lambda(\|u\|_2^2-1)$$ $$\frac{\partial}{\partial u_i}L(u,\lambda)=\operatorname{sgn}(u_i)-2\lambda u_i$$ donde asumimos $u_i\neq0$. Por lo tanto $\lambda = \frac{1}{2|u_i|}$ debe ser cierto para todos los $i$, y por $\|u\|_2^2=1$ tenemos que $|u_i|=\frac{1}{\sqrt{n}}$. Por lo tanto el valor máximo de la zona de tal proyección es: $$V_{n,n-1}=\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$$ El problema para $k\neq n-1$ permanece abierto.

Answer 2

Para $k \ll n$ parece una idea razonable para dividir las coordenadas en $k$ bloques de longitud aproximadamente igual a $n/k$ y proyectar en el $k$-espacio generado por $e_{in/k}+e_{in/k+1}+\dots+e_{in/k+(n/k-1)},i=1,\dots,k$. Esta proyección será isométrica para el cubo de $[0,\sqrt{n/k}]^k$ (ya que el todo se descompone en la suma directa de $k$ instancias de tomar el más largo de la diagonal), por lo $V_{n,k} \ge (n/k)^{k/2}$. Obviamente, para mayor $k$ - es decir, en la escala de $k \sim \lambda n$, $\lambda$ fijo - tenemos que permitir que la no-igualdad de longitudes de bloques - con esta modificación esta idea da una exponencial límite inferior de allí.

Una igual de sencillas límite superior está dado por considerar el diámetro, que es $\sqrt n$, y el uso de un isodiamétricos la desigualdad. La brecha entre los dos límites crece exponencialmente en $k$, lo que no se ve como un gran problema a escala $k \sim \lambda n$, momento en el que confirma el crecimiento exponencial de $V_{n,k}$, pero deja en el preciso exponente desconocido.

Sin embargo, en$k$, muy cercana a $n$ algo curioso lo que pasa. El límite superior se convierte irremediablemente ineficiente. En el régimen de $k = (1 - \frac{1}{r})n$, $r$ constante o grande, me gustaría dividir las coordenadas en $n/r$ bloques de longitud $r$, lleva dentro de cada una de las $r$-dimensional en el subespacio, el mayor $(r-1)$-dimensiones de la proyección, que tiene un volumen de $\sqrt{r}$, y tomar la suma directa de $(n/r)$ de estos, lo que da $V_{n,k} \ge r^{n/2r}$. Este colas bien con el $k = \lambda n$ régimen, y proporciona el valor correcto para $k = n-\mathrm{const}$. No tengo un trivial límite superior aquí.

Edit: en Realidad, expresando el cubo ortogonal suma de dos cubos, y tomar las correspondientes proyecciones en directo sumas, se obtiene la siguiente desigualdad:

$V_{n_1+n_2,k_1+k_2} \ge V_{n_1,k_1} V_{n_2,k_2}$

Todos los límites inferiores en mi respuesta se sigue de la desigualdad, junto con los ya conocidos los valores de $V_{n,1} = V_{n,n-1} = \sqrt n$.