¿Por qué se considera incorrecto utilizar la variable de integración como un límite de integración?

Question

Recientemente, se formuló una pregunta acerca de los límites de la integración y de la OP hizo la siguiente "error tipográfico": $$I = \int_0^x f(x) \, dx$$ como contraposición a $$I = \int_0^x f(t) \, dt $$ Me comentó que este generalmente mal visto y puede hacer que por alguna extraña resultados. Me ocurrió a mí, sin embargo, que no estaba seguro de por qué esto fue formalmente incorrecta, pero que había enseñado que no se debe hacer. Yo no podía pensar en una razón por la que es considerada de las mejores prácticas para diferenciar entre la variable de integración y variables en los límites de la integración..

Cualquier pensamiento / razonamiento detrás de esto?

Answer 1

Veamos un caso sencillo: $\int_0^x x\; dx$.

Aplicando el método habitual, $\int_0^x\; dx = \dfrac{x^2}{2}\big|_0^x =\text{?} $

El plazo es inferior $\dfrac{x^2}{2}$ evaluados en $x=0$, y esta es, obviamente,$0$.

El plazo es superior más problemático. Es $\dfrac{x^2}{2}$ evaluados en $x=x$, y no está claro lo que esto significa.

Supongamos que la integral se $\int_0^{2x} x\; dx$. La parte superior del plazo, entonces sería $\dfrac{x^2}{2}$ evaluados en $x=2x$, y es aún más claro lo que esto significa.

Buena notación hace más claras las ideas y ayuda a evitar errores; como se muestra aquí, utilizando la misma variable para la variable de integración y un límite de integración puede hacer que las cosas poco claras.

Answer 2

Pensemos en esto por un segundo. Que es

ps

Oh! Querías decir

ps

Espero que veas por qué lo primero es una tontería.

Answer 3

Si alguien escribiera una función:

ps

se vuelve más claro por qué esto es problemático. Si en su lugar escribiste:

ps

entonces ¿qué$$g(x) = \int_0^x f(x,t)dt$ es constante dentro de la integral, y cuál$$g(x)=\int_0^x f(x,x)dx$ no?

El mismo problema ocurre si está usando$x$ expresiones para sumas:

$x$ $ no está claro. Esto podría interpretarse como$\Sigma$ o como$$\sum_{n=1}^n g(n)$.

Answer 4

El problema es que (como escribí en otra respuesta ahora mismo) cálculo de los libros no suelen distinguir entre la integral de una función y la integral de una expresión.

Veamos primero $\int_0^{2x} x\,dx$.

• Una opción es interpretar esto como la integral de la función $f(x) = x$ en un intervalo de$0$$2x$. No hay nada de raro en eso. Para cualquier fijo $x$, $\int_{[0,2x]} f$ será igual a $2x^2$. La "x" dentro de la integral no tiene ningún efecto porque acabamos de ver el $x\,dx$ como nos dice qué función es la de ser integrado, y la función en sí es un conjunto que no sabe nada acerca de "x".

• Otra opción es ver "$\int_0^{2x} x\,dx$" puramente como una expresión simbólica y aplicar un fijo algoritmo. En este caso, el algoritmo es el uso de una tabla para buscar la integral de $x$,$x^2/2$, y luego sustituir los límites para obtener $(2x)^2/2 - (0)^2/2$, que se simplifica a $2x^2$.

Del mismo modo, podemos mirar $$\frac{d}{dx} \int_0^x f(x)\, dx,$$ donde $f$ es continua. En este caso, $\int_0^x f(x)\,dx$ es algunos antiderivada $F(x)$$f$, e $\frac{d}{dx} F(x)$ es sólo $f(x)$ nuevo. No hay ningún conflicto si vemos la $f(x)$ como una función. La única fuente de confusión es que el cálculo de los libros a menudo no incluyen reglas para cómo manejar derivados como expresiones. Por ejemplo, la mayoría de los libros no indican que la regla de $\frac{d}{dx}\int_0^xf(t)\,dt = f(x)$ no puede ser ciegamente aplicar a la expresión $f(t) = xt$. Pero sólo porque los libros tienden a adoptar un enfoque funcional, en lugar de la expresión.

En ninguno de los casos hay algún problema con la variable de integración es el mismo que el límite de la integración. El mismo fenómeno se mantiene en general: si consideramos la integral como el que opera en una función , a continuación, el uso de cualquier variable en el integrando deja de tener sentido una vez que identificamos la función específica de ser integrado, mientras que si consideramos la integral simbólicamente y saber la correcta formal de reglas a seguir, a continuación, de nuevo hay ningún problema.

Answer 5

Además de lo que dijo Marty creo que la última integral (demasiado perezoso para escribir!) se considera malo, principalmente debido a que los límites de integración son una función de x así.
Una gran contradicción a la igualdad de la ex integral y última integral es cuando se puede distinguir la integral.
Sólo trato de que la cosa fuera en ambos casos se obtiene totalmente diferentes respuestas.
última integral es f(x,t) que tiene una forma diferente y más complicado diferenciar la forma.

Podría haber muchas más razones para esto, pero sí debe tener la idea.

Sin embargo, si los límites son independientes de x, entonces usted siempre puede hacer que x --> t mayús .