¿Cómo demostramos en general que $\lim_{t \to x} {t^a} = x^a$

Question

¿Cómo demostramos que para $a \in \mathbb{R}$ , $\lim_{t \to x} {t^a} = x^a$ en general utilizando la definición epsilon/delta? Mi amigo y yo acabamos de pasar una hora mostrándolo para $t^{1/3}$ y la prueba dependía mucho de la factorización específica y del acotamiento de un polinomio, lo que me parece muy poco trivial.

Answer 1

Esta es una prueba que consta de muchos pasos, algunos de los cuales puedes asumir.

• Construir la función exponencial
• Demuestre que esta función es continua y monótona
• Concluir que esta función tiene una inversa (al menos en su imagen), el logaritmo
• Demuestre que esta inversa es continua

Ahora podemos tomar logaritmos, y utilizando la continuidad de la función logaritmo, pasar el límite al exterior. Entonces podemos mover el exponente constante hacia abajo, pasarlo fuera del límite, evaluar el límite, y luego volver a subir la constante. Ahora aplica la exponencial de nuevo, y lo habrás demostrado.

Answer 2

Considere $n\in \mathbb{N}$ .

Primer paso : $n=1 \to \lim_{x \to a} x = a$

Segundo paso : $n = k \to \lim_{x \to a} x^k = a^k$

Tercer paso (Que queremos demostrar) : $n= k+1 \to \lim_{x \to a} x^{k+1} = a^{k+1}$

$\lim_{x \to a} x^{k+1} = \lim_{x \to a} (x^k . x) = \lim_{x \to a} x^{k} . \lim_{x \to a} x = a^k . a = a^{k+1}$