Cómo encontrar el valor de$AP+\frac{1}{2}BP$ minmum

Question

Un triángulo equilátero$ABC$ such$$AB=BC=AC=2a>0$ $ Un círculo$O$ está inscrito en triángulo$ABC$, y el punto$P$ en el círculo$O$.

Encuentre el mínimo$$AP+\dfrac{1}{2}BP$ $

Mi idea: dejar$$A(-a,0),B(a,0),O(0,\dfrac{\sqrt{3}}{3}a)$ $, entonces la ecuación del círculo es $$ x ^ 2 + (y- \ dfrac {\ sqrt {3} a} {6}) ^ 2 = \ dfrac {1} {12} a ^ 2 $$ let$P(x,y)\;$, then$$|PA|+\dfrac{1}{2}|PB|=\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{(x-a)^2+y^2}$ $ donde $$ x ^ 2 + (y- \ dfrac {\ sqrt {3} a} {6}) ^ 2 = \ dfrac {1} {12} a ^ 2 $$ y luego no puedo. Gracias

Answer 1

Lo siento, no puedo administrar bien el inglés, así que podría usar el traductor de Google.

Tome los puntos inversos$B$ sobre el círculo, y llámelo$B'$.

Por las conclusiones sobre círculos apolíneos, sabíamos que$PB'=\dfrac{1}{2}PB$.

Por lo tanto, solo tenemos que determinar el mínimo de$PA+PB'$, por lo que es fácil observar que cuando$P$ se encuentra en la línea$AB$ obtenemos el valor mínimo, y eso es bastante fácil de calcular.

La respuesta es$\dfrac{\sqrt{7}}{2}a$, si no me equivoco. (Lo cual sucede mucho)

Answer 2

Algunas ideas:

Tomando desde donde la dejó y la corrección de las coordenadas de $\;O\;$ , se obtiene el círculo de la ecuación es

$$x^2+\left(y-\frac a{2\sqrt3}\right)^2=\frac{a^2}{12}\;\;\;\;(I)$$

Observar que, desde la $\;x$-eje es tangente al círculo, el valor absoluto del centro del $\;y$coordenada es igual a la del círculo de radio...

Ahora, con su notación

$$|PA|+\frac12|PB|=\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\frac12\sqrt{(x-a)^2+y^2}\;\;\;\;(II)$$

Por tanto, queremos minimizar (II) contiioned a (I) , y por lo tanto los Multiplicadores de Lagrange puede ayudar aquí...o

$$(I)\implies x=\pm\sqrt{\frac{a^2}{12}-\left(y-\frac a{2\sqrt3}\right)^2}$$

y sustituir en (II) una variable de extrema problema (primera derivada y esas cosas)