Esta pregunta se dice que una matriz $\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$ donde $a_{ij}$ son números reales. Necesito demostrar que $\det|A|=ad-bc\neq0 \iff $las columnas son linealmente independientes.
Supongamos que ya sabemos que Una de las columnas son linealmente independientes si el sistema de ecuaciones $Ax=0$ donde $x=(x_1, x_2)'$ sólo tiene la solución trivial, es decir, $(x_1=0, x_2=0)$ es la única solución.
La siguiente es mi respuesta:
$ \begin{equation}
\begin{alignedat}{4}
ax_1 &+ bx_2 &&= 0 \\
cx_1 &+ dx_2 &&= 0
\end{alignedat}
\end{equation} $
implica $ \begin{equation}
\begin{alignedat}{4}
adx_1 &+ bdx_2 &&= 0 \\
bcx_1 &+ bdx_2 &&= 0
\end{alignedat}
\end{equation} $
A continuación, reste la segunda ecuación en la primera ecuación, obtenemos $ x_1(ad-bc)=0$
$(\Rightarrow)$ Las columnas son linealmente independientes, por lo $x_1=x_2=0$ es la única solución. Por lo tanto, (ad-bc) no puede ser $0$, de lo contrario $x_1$ puede ser cualquier número.
$(\Leftarrow)$ $ad-bc\neq 0$ , Sabemos que la única solución a la ecuación anterior es $x_1=0$, y, por tanto,$x_2=0$. Por lo tanto, las columnas son lineales independientes.
Mi maestro dice que el argumento no es suficiente, pero no puedo entender. Pudo ver el problema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Rob
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Después de ver (ojala) donde salió mal, que propongo lo siguiente:
$$\binom ac\;,\;\;\binom bd\;\;\text{linearly dependent}\;\iff\;\exists\;k\in\Bbb R\;\;s.t. \binom bd=k\binom ac\iff$$
$$\binom bd=\binom{ak}{ck}\iff \det A=\begin{vmatrix}a&ak\c&ck\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a&a\c&c\end{vmatrix}=k\cdot 0=0$$
y ya está.
