Sea $\mathbb{Q}_p$ el conjunto de los números p-ádicos y $\mathbb{Z}_p$ el conjunto de los enteros p-adic.
¿Es un subgrupo compacto máximo de $GL_2(\mathbb{Z}_p)$ de $GL_2(\mathbb{Q}_p)$? Muchas gracias.
Respuesta
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Sí, $GL_n(\mathbf{Z}_p)$ es la máxima compacto subgrupo de $GL_n(\mathbf{Q}_p)$ cualquier $n$. De esta manera se sigue inmediatamente de la Smith forma normal (primaria divisores) teorema: cualquier $M \in GL_2(\mathbf{Q}_p)$ puede ser escrito como $M = U D V$ donde $U, V$ $GL_n(\mathbf{Z}_p)$ $D$ es diagonal, con su diagonal de entradas de todos los poderes de $p$. Por lo que cualquier subgrupo que contiene estrictamente $GL_n(\mathbf{Z}_p)$ debe contener una matriz diagonal con alguna entrada de un trivial poder de $p$, y el subgrupo generado por un elemento no es compacto.
(Es un hecho general de que el si $K$ es una extensión finita de $\mathbf{Q}_p$ con anillo de enteros $\mathcal{O}$, e $\mathcal{G}$ es un reductor esquema de grupo sobre$\mathcal{O}$, $\mathcal{G}(\mathcal{O})$ es máxima compacto en $\mathcal{G}(K)$.)
