Intuición de error en la aposición de Taylor y error de búsqueda en la aproximación de una función por una función constante

Question

Estoy leyendo sobre la aproximación de Taylor de una función y estoy tratando de desarrollar la intuición para el resto, cuando la aproximación de una función con $n^{th}$ grado del polinomio que tiene un continuo $(n+1)^{th}$ derivado, dada por $\frac{1}{n!}\int_{a}^{x} (x - t)^nf^{(n+1)}(t)dt$

Mi intuición de la aproximación lineal es esta: se utilizó una constante de la primera derivada para evaluar en x (ya que nos aproximado de f en a). Por lo tanto, tenemos que utilizar la información acerca de la tasa de tasa de cambio desde cualquier punto de $ t \in (a,x)$ para compensar este error. Específicamente, la segunda derivada da la diferencia entre el primer derivados en dos puntos sucesivos y escalas sobre la unidad de intervalo. Por lo tanto, f"(t) corrige por error en t, pero introduce un nuevo error de (t, x) que se corrigió con la misma lógica que en el siguiente punto. Por lo tanto, la integral dada anteriormente. Es esto correcto?

Mi razonamiento es porque si yo empiezo la aproximación mediante una función constante y la razón de que mediante el uso de la tasa de cambio en cada punto, una función puede ser reconstruida a partir de cualquier punto. Pero si intento utilizar la integral anterior para calcular el error en las estimaciones de la función constante, no funciona debido a la $(-t)$. ¿Hay una fórmula para estimar el error, incluyendo la constante de caso?

Entiendo que la prueba de la integral usando integración por partes (y requisito de la continuidad de la $f^{(n+1)}(x)$ es ser capaz de utilizar el primer teorema fundamental).

Puede usted por favor me ayude a solucionar mi intuición de la integral?

Answer 1

Aquí está una cierta intuición: Vamos a $j_a^nf$ $n^{\rm th}$ el polinomio de Taylor de $f$$a$. Si el $(n+1)^{\rm st}$ derivado de la $f$ eran idénticamente cero, entonces este polinomio $j_a^nf$ produciría el valor exacto de $f$ todos los $x$, y el error de $R(x):=f(x)-j_a^nf(x)$ sería idéntica a cero. De ello se desprende que en el caso de error distinto de cero el nonvanishing de $f^{(n+1)}(t)$ en ciertos puntos del intervalo $[a,x]$ (al $x>a$) tiene que ser el culpable. La linealidad, a continuación, indicaría que tenemos una fórmula de la forma $$R_n(x)=\int_a^x w(t)f^{(n+1)}(t)\>dt$$ con un cierto más o menos "universales" función peso $w$. Que esta función peso tiene el simple formulario que aparece en "Taylor teorema integral del resto" es debido a que el secreto de la integración parcial, una explicación intuitiva de que todavía tengo que ver.