Pregunta de concurso de matemática con polinomios

Question

3. Demostrar que no existe un polinomio f(x) con coeficientes enteros para los cuales f(2008) = 0 y f(2010) = 1867.

Esta es una pregunta de CMOQR (Clasificatorio para el Canadiense Olimpíadas de Matemáticas , no de la Olimpiada nacional en sí). Este concurso es de 2009 pero que no tienen soluciones publicado.

Yo tenía una idea para resolver este problema, pero no estaba seguro de si era lógicamente correcto.

Me dijo para empezar a con f(x) en la forma: $f(x) = (a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n)$, a continuación, convertir a $f(x) = a(x-2008)(b_0 + b_1x^1 + b_2x^2 + ... + b_{n-1}x^{n-1})$ desde x = 2008 fue de una raíz de f(x). Si puedo conectar en x = 2010 en f(x), f(2010) contendría el término lineal (x - 2008) = (2010 - 2008) = 2, lo que sería en la forma de producto de f(x) llevaría a f(x) siendo incluso. Por lo tanto, f(2010) $\not=$ desde 1867 1867 es impar, no aún.

¿Alguien puede confirmar si esto es cierto? Muchas gracias.

Answer 1

Para cualquier polinomio con coeficientes del número entero y cualquier entero $x$, $f(x+2) \equiv f(x) \mod 2$.

Answer 2

Desde $f(2008)=0$, el término constante es aún. Pero entonces es $f(2010)$.

Comentario: Suyo es también un argumento de la paridad, y es correcto. Utiliza maquinaria un poco más de lo necesario y requeriría una modificación si tuviéramos decir $f(2008)=444$.