Supongamos que tenemos dos espacios pseudotopológicos $(X,p_1)$ y $(X,p_2)$ donde $p_1$ y $p_2$ son relaciones entre el conjunto de ultrafiltros sobre $X$ y los puntos en $X$ .
Podemos definir un espacio topológico mediante la relación $p_1$ o $p_2$ diciendo que $U\subseteq X$ está abierto si $\forall x\in U $ siempre que un ultrafiltro $F\rightarrow x$ (es decir, la relación contiene $(F,x)$ par) tenemos $U\in F$ .
Si $p_1 \neq p_2$ ¿las topologías generadas son diferentes? Está claro que si el espacio pseudotopológico es topológico - es decir, los ultrafiltros convergen en el espacio pseudotopológico si convergen en el espacio topológico - entonces las topologías generadas son únicas.
Pero no todo espacio pseudotopológico es topológico y no consigo demostrar si las pseudotopologías generan siempre topologías únicas. ¿Es cierto?
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Para los conjuntos finitos es único con seguridad: sólo hay una estructura pseudotopológica.
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Por favor, proporcione la prueba de que realmente obtenemos una topología por esta definición. Podría ayudar a obtener ideas.
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¿En qué sentido dices "si el espacio pseudo-topológico es topológico"? Quiere decir que la relación $p$ se genera a partir de la topología subyacente relacionando cada ultrafiltro convergente con su límite? No me gustan mucho los espacios pseudotopológicos, pero tengo una idea: toma un espacio pseudotopológico $(X, p_1)$ que no es topológica, entonces la topología que definiste y luego generaste $(X, p)$ de ella. ¿Las topologías generadas por $(X, p_1)$ y $(X, p)$ ¿Igual? Parece que sí. Pero no pueden ser iguales porque la primera no es topológica. ¿Tiene esto sentido? ¿Funciona en los detalles?