¿Cuáles son las formas de probar que el conjunto de Cantor es incontable, aparte de la diagonalización de Cantor?

Question

¿Cuáles son las formas de probar que el conjunto de Cantor es incontable, aparte de la diagonalización de Cantor? ¿Hay algún basado en dinámica de sistemas?

Answer 1

Ejercicio: Demostrar que el conjunto de Cantor $C$ es igual a $$C = \left\{\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n}: a_n \in \{0, 2\}\right\}$$

Entonces:

Una forma intuitiva de entender la cardinalidad del conjunto de Cantor es pensar que es esencialmente el conjunto de ternario (base 3) las representaciones de todos los $x\in [0, 1] \subset \mathbb{R}$, lo que puede ser expresado usando sólo los dígitos 0 y 2. Es decir, es el conjunto de todos los "trecimal expansiones" de $x\in [0, 1] \subset \mathbb{R}$ que consisten de sólo ceros y de dos en dos: por ejemplo,$0.0 \bar{0}_{\text{ base 3}} = 0 \in C, \; 0.2\bar{2}_{\text{ base 3}} = 1\in C,\;\; 0.2020202020202…_\text{(base 3)} \in C \;$, etc.

El conjunto de todos los $x$ es incontable:
Hay $2^{|\mathbb{N}|}$ secuencias distintas que consta de sólo ceros y dos: para cada una de las $n\in \mathbb{N}$, hay dos opciones posibles para cualquier $a_n : 0$ o $2$. Ya que hay una cantidad no numerable de distintas secuencias de $\{a_n\} \in \{0, 2\}^\mathbb{N}$, hay una cantidad no numerable de serie $\large\sum {a_n\over 3^n}$, cada uno de los cuales representa un único punto en el conjunto de Cantor.

Por lo tanto, hay una cantidad no numerable de puntos en el Conjunto de Cantor.

Answer 2

En lugar de la diagonal de la prueba directamente, podemos adaptar el Cantor de la primera prueba de uncountability. Deje $C$ ser el conjunto de cantor, y deje $E=\{u_1, u_2, \dots\}$ ser una contables conjunto. Se construye un punto de $C$ no $E$. En primer lugar, $C \subseteq [0,1/3]\cup [2/3,1]$, y el punto de $u_1$ no pertenecen a estos dos intervalos, de modo que hay un intervalo de $I_1$ de la longitud de la $1/3$ (uno de ellos en la primera etapa de la construcción del conjunto de Cantor) con $u_1 \not\in I_1$. Ahora cuando se retire el tercio medio de la $I_1$ tenemos dos intervalos de longitud de $1/3^2$. Como antes, $u_2$ no pertenece a ambos de estos intervalos, de modo que hay un intervalo de $I_2 \subset I_1$ de la longitud de la $1/3^2$ (uno de ellos en la segunda etapa de la construcción del conjunto de Cantor) con $u_2 \not\in I_2$. Continuar en este camino para llegar a $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \dots \supset I_k \supset \dots$ donde $I_k$ tiene una longitud de $3^{-k}$ (uno de los intervalos en el $k$th etapa de la construcción del conjunto de Cantor) y $u_k \not\in I_k$. Finalmente, llegamos a un punto de $x \in \bigcap_{k=1}^\infty I_k$ donde $x \in C$ pero $x \ne u_k$ todos los $k$.

Answer 3

Usted puede utilizar el ol' de Categoría de Baire argumento: como un subespacio cerrado de $\mathbb{R}$, el conjunto de Cantor es completamente metrizable (la métrica usual es completa) y es por tanto un espacio de Baire. Por lo tanto, el conjunto de Cantor no es un contable de la unión de la nada-subconjuntos densos. Como el conjunto de Cantor es perfecto, el singleton es para nada denso (en el conjunto de Cantor), y para el conjunto de Cantor no puede ser contable.

Answer 4

En el espíritu de Arthur respuesta, vamos a tomar algunas de las herramientas más avanzadas de la parte de las matemáticas.

Teorema 1. Cada contables y completo espacio métrico es homeomórficos a una contables ordinal con el fin de topología.

Teorema 2. Cada ordinal espacio contiene puntos aislados. Además, si el número ordinal infinito, hay infinitamente muchos puntos aislados.

El Cantor espacio es compacto y por lo tanto, completa con la métrica inducida por $\mathbb R$. Si el espacio de Cantor fue contables entonces sería isomorfo a un ordinal y, por tanto, tienen puntos aislados. Sin embargo, el espacio de Cantor no tiene puntos aislados, y por lo tanto no puede ser contable.

Answer 5

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$Deje $C$ ser un conjunto de Cantor, y deje $f:\Bbb N\to C$ ser cualquier función. Para $n\in\Bbb N$ deje $a_n=f(n)$, y deje $A=\{a_n:n\in\Bbb N\}$.

Reclamo: $A\ne C$.

Desde $A$ es arbitraria contables subconjunto de $C$, se sigue de la afirmación de que $C$ es incontable.

Prueba de Reclamación: Claramente $C$ es infinita, por lo que hay algunos $x\in C\setminus\{a_0\}$. $C$ es $T_4$, por lo que hay un abrir nbhd $V_0$ $x$ tal que $a_0\notin\cl V_0$. Supongamos que para algunos $n\in\Bbb N$ tenemos un no-vacío conjunto abierto $V_n$ tal que $\{a_k:k\le n\}\cap\cl V_n=\varnothing$. Si $a_{n+1}\notin\cl V_n$, vamos a $V_{n+1}=V_n$. De lo contrario, utilice el hecho de que $C$ no tiene puntos aislados para solucionar $x\in V_n\setminus\{a_{n+1}\}$, y elegir un abrir nbhd $V_{n+1}$ $x$ tal que $\cl V_{n+1}\subseteq V_n\setminus\{a_{n+1}\}$. De esta manera podemos construir recursivamente abrir conjuntos de $V_n$ tal que para $n\in\Bbb N$, $\cl V_{n+1}\subseteq V_n$ y $\{a_k:k\le n\}\cap V_n=\varnothing$. Se desprende de la compacidad de $C$ que $$\bigcap_{n\in\Bbb N}\cl V_n\ne\varnothing\;,$$ but clearly $$A\cap\bigcap_{n\in\Bbb N}\cl V_n=\varnothing\;,$$ so $Un\ne C$. $\dashv$