¿Puede un conjunto no estar ni abierto ni cerrado?

Question

¿Puede un conjunto no ser ni abierto ni cerrado? Un ejemplo serviría. No se me ocurre ninguno.

Gracias de antemano.

Answer 1

Un ejemplo muy conocido es el conjunto $[0,1)$ en la topología habitual de $\Bbb R$ no está abierto, porque no contiene ningún nbhd de $0$ y no está cerrado, porque $1$ es en su cierre.

Answer 2

Otro ejemplo: los racionales $\mathbb{Q}$ como un subconjunto de $\mathbb{R}$ con la topología habitual. No es abierto, porque cada intervalo contiene irracionales. No es cerrado, porque cada irracional es un límite de los racionales.

Answer 3

Como ya han señalado las otras respuestas, es posible, y de hecho bastante común, que una topología tenga subconjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados. Más interesante es la cuestión de cuándo es no el caso. A topología de la puerta es una topología que satisface exactamente esta condición: cada subconjunto está abierto o cerrado (como una puerta).

A la inversa, podemos preguntar si los subconjuntos pueden ser a la vez abiertos y cerrados, y ésta es la propiedad más conocida de conectividad un espacio conexo es aquel en el que los únicos conjuntos cerrados y abiertos (conjuntos clopen) son $\emptyset$ y $X$ que siempre son clopen en cualquier topología. Así, en una topología de puertas conectadas, se tiene $A$ está abierto si $A$ no está cerrado, excepto para $A=X$ o $A=\emptyset$ , donde $A$ es tanto abierto como cerrado.

La topología de puerta más común con la que uno se encuentra es la topología discreta donde cada subconjunto es tanto abierto como cerrado. Un ejemplo no trivial de un conectado la topología de la puerta viene dada por la colección de conjuntos abiertos $\scr U\cup\{\emptyset\}$ dado cualquier ultrafiltro $\scr U$ .

Answer 4

Cualquier subconjunto propio no vacío de un espacio topológico dotado de la topología indiscreta.