Grupos declaraciones equivalencia

Question

Planteamiento del problema

Dejemos que $G$ sea un grupo y $H \subset G$ un subconjunto. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes

(i) $H$ es un subgrupo

(ii) $H$ es no vacía y para cualquier $x, y \in H, xy^{-1} \in H$

Si $G$ es finito, demuestre que estas afirmaciones son equivalentes a

(iii) $H$ es no vacía y para cualquier $x,y \in H, xy \in H$

El intento de solución

No tuve problemas para demostrar la equivalencia de las afirmaciones (i) y (ii):

$(i) \implies (ii) $ Esto es por definición, ya que si $H$ es un subgrupo, entonces es cerrado bajo operación, por lo que satisface $xz \in H$ para todos los elementos de $H$ En particular, para $z=y^{-1}$ .

$(ii) \implies (i)$ también es fácil:

Para demostrar la existencia de $e \in H$ podemos escribir $e=xx^{-1}$ para cualquier $x \in H$ (podemos asegurar que existe algún $x$ desde $H$ Ahora que hemos demostrado la existencia del elemento identidad, por hipótesis, si $x \in H$ entonces $ex^{-1}=x^{-1} \in H$ por lo que todos los elementos tienen inversa en $H$ . Demostramos el cierre de la operación simplemente utilizando que $y={y^{-1}}^{-1}$ por hipótesis, $xy=x{y^{-1}}^{-1} \in H$ . La asociatividad se deduce directamente del hecho de que $G$ es un grupo.

Ahora, $(i),(ii) \implies (iii)$ es inmediato, por definición de grupo, tenemos que $H$ se cierra bajo la operación, por lo que, para cualquier $x,y \in H, xy \in H$ .

Me quedé atascado tratando de mostrar que $(iii)$ implica $H$ es un subgrupo. Si pudiera demostrar que para cualquier $x \in H$ , $x^{-1} \in H$ Entonces habría terminado, pero no sé cómo mostrar esto. He pensado en demostrarlo por el absurdo: supongamos que hay un elemento $x : x^{-1} \notin H$ Entonces, ¿cómo podría concluir que $G$ no puede ser finito?

Answer 1

Si se multiplica $x$ con ella misma repetidamente, entonces como $H$ es finito se obtiene que dos potencias deben ser iguales, digamos $x^a = x^b$ donde $a > b$ . Entonces $x^{a-b} = e$ y así $x^{a-b-1} = x^{-1}$ así que $x^{-1}$ está en $H$ que, como has señalado, es todo lo que necesitas para completar la prueba.

Answer 2

Supongamos que iii) es válido.

Si $G$ es finito, para cada $x \in H $ tenemos que $x$ es de orden finito, s0 $x^{n} = 1 $ para $n \in \mathbb{N}$ .

Así que $1 = x^{n} \in H$ por hipótesis. Además, si $n > 1 $ tenemos $x^{n-1} = x^{-1} \in H $ . Esto, con las otras hipótesis del punto iii) demuestra que $H$ es un subgrupo.

Answer 3

La condición (iii) puede relajarse a " $H$ es finito". Sea $y\in H$ (que existe porque $H$ es no vacío); entonces el mapa $$ f_y\colon H\to H,\quad x\mapsto xy $$ está bien definida por hipótesis. Este mapa es inyectivo, pues $$ f_y(x_1)=f_y(x_2)\implies x_1y=x_2y\implies x_1yy^{-1}=x_2yy^{-1} \implies x_1=x_2 $$ ya que una inversa para $y$ existe en $G$ . Por lo tanto, $f_y$ también es sobreyectiva, ya que $H$ es finito y por lo tanto hay $x_0\in H$ con $f_y(x_0)=y$ , lo que significa que $x_0=1\in H$ . A continuación, hay $x'\in H$ tal que $f_y(x')=1$ , lo que significa que $x'=y^{-1}\in H$ .

Desde $y$ es un elemento arbitrario de $H$ hemos demostrado que $H$ contiene la inversa de cada uno de sus elementos.