Si $x,y,z>0\;,$ y $xyz=1$ entonces el valor mínimo de $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}$

Question

<blockquote> <p>Si $x,y,z>0\;,$ y $xyz=1$ entonces encuentran el valor mínimo de $\displaystyle \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}$</p> </blockquote> <p>$\bf{My\; Try::}$ Uso lema de Titu %#% $ #%</p> <p>y la igualdad cuando $$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} = \frac{x+y+z}{2}\geq 3\frac{\sqrt[3]{xyz}}{2} = \frac{3}{2}$ $</p> <p>Mi pregunta es cómo podemos resolverlo sin el lema anterior, como el uso de la desigualdad de Jensen u otra desigualdad.</p> <p>por favor me explique</p> <p>Gracias</p>

Answer 1

Utilizar $$\frac{a^2}{b}\ge 2a-b$ $ entonces $$\frac{x^2}{y+z}=\frac14\cdot\frac{(2x)^2}{y+z}\ge\frac14(4x-y-z)$ $ semejantemente $$\frac{y^2}{x+z}\ge\frac14(4y-x-z)$ $ $$\frac{z^2}{x+y}\ge\frac14(4z-x-y)$ $ por lo tanto

$$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{1}{4}2(x+y+z) = \frac{x+y+z}{2}\geq 3\frac{\sqrt[3]{xyz}}{2} = \frac{3}{2}$$

Answer 2

Acaba de encontrar el valor mínimo de $e=(x+y)(y+z)(z+x)$ porque le dan expresión E satisface $E\ge \frac{3}{[(x+y)(y+z)(z+x)]^{\frac{1}{3}}}$ (usando la desigualdad de AM-GM). Ahora usted puede encontrar el valor mínimo de $e$ por el método de multiplicadores de lagrange con restricción $xyz=1$

¡Espero que esto ayude!