La antiderivada de $\sin(1/x)$

Question

¿Cómo demostrar que la función $f(x)=\sin\frac{1}{x}$ para $x\neq 0,f(0)=0$ tiene una antiderivada? Esto significa que $F(x)=\int^{x}_{0}\sin(1/t)dt$ tiene derivada $0$ en $x=0$, pero no tengo idea de cómo probarlo.

Answer 1

Podemos sustituir $u = t^{-1}$ para obtener una expresión más conveniente:

$$\begin{align} \left\lvert \frac{F(x) - F(0)}{x}\right\rvert &= \frac{1}{\lvert x\rvert} \left\lvert \int_0^x \sin (t^{-1})\,dt\right\rvert \\ &= \frac{1}{\lvert x\rvert} \left\lvert \int_{1/\lvert x\rvert}^\infty \frac{\sin u}{u^2}\,du\right\rvert \tag{simetría}\\ &= \frac{1}{\lvert x\rvert} \left\lvert \left[-\frac{\cos u}{u^2}\right]_{1/\lvert x\rvert}^\infty - 2 \int_{1/\lvert x\rvert}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du\right\rvert\\ &= \frac{1}{\lvert x\rvert} \left\lvert \lvert x\rvert^2 \cos \frac{1}{\lvert x\rvert} - 2 \int_{1/\lvert x\rvert}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du\right\rvert\\ &\leqslant \lvert x\rvert + \frac{1}{\lvert x\rvert} \int_{1/\lvert x\rvert}^\infty \frac{2}{u^3}\,du\\ &= 2\lvert x\rvert. \end{align}$$

Por lo tanto, $F'(0) = 0$.

Answer 2

Acabo de publicar otra solución a esta pregunta en mi blog. La idea es considerar la siguiente función

$$G(x)=\begin{cases}x^2\cos \frac 1x, & \text{ si } x \ne 0,\\ 0, & \text{ si }x=0.\end{cases}$$

la cual es diferenciable. Claramente,

$$G'(x)=\begin{cases} \sin \frac 1x + 2x \cos \frac 1x, & \text{ si } x \ne 0,\\ 0, & \text{ si }x=0.\end{cases}$$

Por lo tanto, $G' = f + h$ donde

$$h(x)=\begin{cases} 2x \cos \frac 1x, & \text{ si } x \ne 0,\\ 0, & \text{ si }x=0.\end{cases}$$

Dado que $h$ es continua, tiene una primitiva $H$, lo que nos da $f = (G-H)'$. En otras palabras, $G-H$ es una primitiva de $f$.