¿Está cerrada la diagonal de $X \times X$ $\bar{X} \times \bar{X}$?

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico. Deje $\bar{X}$ denotar un compactification de $X$ (es decir, $\bar{X}$ es un compacto Hausdorff espacio que $X$ es un abierto denso en el subespacio de $\bar{X}$). Observe que en particular esto implica que $X$ es de Hausdorff. Definir la diagonal $\triangle_X$ $X$ por $$\triangle_X=\{(x,x) \in X \times X \mid x \in X\}.$$

Es un hecho bien conocido que si $X$ es un espacio topológico, entonces $X$ es Hausdorff si y solo si su diagonal es cerrado. Sin embargo, estoy interesado en los siguientes:

Pregunta: Es $\triangle_X$ cerrado en $\bar{X} \times \bar{X}?$

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Esto no es cierto. Considerar $X$ que el intervalo abierto $(0,1)$ y $\overline X=[0,1]$. Entonces $\Delta_X={(t,t):t\in(0,1)}$ no es un subconjunto cerrado de $\overline X\times \overline X=[0,1]\times[0,1]$, ya que tiene un límite de $(0,0)\notin\Delta_X.$

Answer 2

En primer lugar, cuestiones de menor importancia: su contexto hace que sea más apropiado decir un compactification, en lugar de la compactification. Además, no es habitual exigir que $X$ está abierto en $\overline{X}$, pero eso no va a hacer una diferencia.

Dicho esto, la respuesta es que $\Delta_X$ está nunca cerrado en $\overline{X} \times \overline{X}$ (como $\overline{X}$ no $X$, por supuesto).

Una forma de ver esto es simplemente por el manejo de la densa hipótesis: pick $p$ un punto de $\overline{X}$ que no está en $X$. Dado un barrio de la forma$U_1 \times U_2$$(p,p)$, ya que el $X$ es denso en $\overline{X}$ ello se desprende que no existe un $q$ $X$ tal que $q \in U_1 \cap U_2$, y por lo tanto $(q,q) \in U_1 \times U_2$. Por lo tanto $(p,p)$ es un punto límite de $\Delta_X$ que no está en $\Delta_X$.

Otra manera es la siguiente: supongamos que $\Delta_X$ es cerrado en $\overline{X} \times \overline{X}$. Entonces es compacto, ya que la tarde es compacto. Desde la asignación $\pi_1: \overline{X} \times \overline{X} \to \overline{X}$ es continua, $\pi_1(\Delta_X)=X$ es compacto, una contradicción.

Answer 3

Ciertamente no, a menos que $X$ es compacto. Porque es homeomorfa a $\Delta$ y $X$$\Delta$ cerrado en $\overline X\times\overline X$ $\Delta$ compacto de implica.