La conexión (campo gauge) en la métrica de Fubini-Study es el pull back de una conexión A del haz de líneas $\mathcal{O}(1)$ en $\mathbb{CP}^{N-1}$

Question

Se puede describir un $\mathbb{CP}^{N-1}$ con una métrica de Fubini-Study $g^{FS}$ y hay una conexión de una forma $v$ en él. A es la conexión de una forma (campo gauge) de un haz de líneas ( $\mathcal{O}(1)$ ) en $\mathbb{CP}^{N-1}$ cuya primera clase de Chern genera el grupo de cohomología integral $H^2(\mathbb{CP}^{N-1},Z)$ . Tengo un problema aquí:

1.Por qué $v$ es un retroceso de $A$ ?

2.Por qué A genera un grupo de cohomología $H^2(\mathbb{CP}^{N-1},Z)$ ?

Answer 1

Aquí hay un esquema que debería funcionar.

1. Demuestre (o acepte como dado) que $H^2(\mathbb CP^{n-1}; \mathbb Z) \simeq \mathbb Z$ . La forma más fácil que conozco de hacerlo es utilizar la cohomología celular. Creo que Hatcher hace esto, pero una búsqueda en Google traerá un montón de éxitos.
2. Trabajando en un gráfico se puede calcular que la curvatura, $F$ de $A$ es la métrica de Fubini-Study (o quizás su negativo). Por la teoría de Chern-Weil, $\frac{i}{2\pi} F$ representa la primera clase de Chern de $\mathcal O(1)$ y por eso se encuentra en $H^2(\mathbb C P^{n-1}; \mathbb Z)$ . Por lo tanto, es igual a $nx$ donde $x$ es un generador de $H^2(\mathbb CP^{n-1};\mathbb Z)$ y $n$ es un número entero. Ahora sólo tienes que demostrar que $n = \pm 1$ . Basta con demostrar que se obtiene $\pm 1$ cuando se evalúa $\frac{i}{2\pi} F$ en algún manípulo cerrado. Yo sugeriría evaluar esto en alguna incrustación de $\mathbb C P^1$ (es decir, elegir una inclusión natural $\mathbb C P^1 \to \mathbb C P^{n-1}$ , retroceso $\frac{i}{2\pi} F$ por ella, e integrar sobre $\mathbb C P^1$ y compruebe que obtiene $\pm 1$ ).