Probar sin el uso de una calculadora $(\ln 6)^{(\ln 5)^{(\ln 4)^{(\ln 3)^{(\ln 2)}}}}<\pi$

Question

Probar sin usar una calculadora $$(\ln 6)^{(\ln 5)^{(\ln 4)^{(\ln 3)^{(\ln 2)}}}}<\pi$$ Quiero saber si hay una manera fácil de probar esta desigualdad sin usar una calculadora.

Answer 1

No sé cómo demostrarlo, sin embargo. Sin embargo, me puede ayudar a motivar una razón para resolverlo.

En cuanto a tu pregunta,

"Quiero saber si hay una manera fácil de probar esta desigualdad sin usar una calculadora?"

La respuesta es no. No es fácil/rápida prueba de esto que va a hacer su camino en una respuesta. Sin embargo, he hecho algunas observaciones.

Tenemos una relación de recursividad de la siguiente,

$$L(x+1)=\ln(x+1)^{L(x)}$$

$$L^{(0)}(\ln(x))=\ln(x) \quad L^{(1)}(\ln(x))=\ln(x+1)^{\ln(x)}$$

$$\ln(23)=3.13549...$$ $$L^{(1)}(\ln(6))={\ln(7)}^{\ln(6)}=3.29623...$$ $$L^{(2)}(\ln(4))={\ln(6)}^{{\ln(5)}^{\ln(4)}}=\color{green}{3.08961...}$$ $$L^{(3)}(\ln(3))={\ln(6)}^{{\ln(5)}^{{\ln(4)}^{\ln(3)}}}=\color{blue}{3.16664...}$$ $$L^{(4)}(\ln(2))={\ln(6)}^{{\ln(5)}^{{\ln(4)}^{{\ln(3)}^{\ln(2)}}}}=\color{red}{3.14157...}$$ $$L^{(5)}(\ln(1))={\ln(6)}^{{\ln(5)}^{{\ln(4)}^{{\ln(3)}^{\ln(2)^{\ln(1)}}}}}=\color{blue}{3.16664...}$$ $$L^{(6)}(\ln(0))={\ln(6)}^{{\ln(5)}^{{\ln(4)}^{{\ln(3)}^{\ln(2)^{\ln(1)^{\ln(0)}}}}}}=\color{green}{3.08961...}$$

Me parece interesante y motivador.

Ahora, algunos de ustedes podrían estar intrigado por el colorido de uso de $\ln(0)$ por encima. De hecho, encontré que el uso de un límite, podemos observar el comportamiento de $L^{(6)}(\ln(x))$ $x$ enfoques $0$.