2 +1D Chern Simons Level Quantization

Question

Con un $SU(N)_k$ o $U(N)_{k,k}$ Chern-Simons término escrito como $$\mathcal{L} = \frac{k}{4\pi} \left(AdA + \frac{2i}{3} A^3\right)$$ a menudo se dice que el $k\in \mathbb{Z}$. Generalmente, veo que esta saliendo como resultado de flujo de cuantización, aunque para ello el lugar de la teoría en un circuito cerrado en el colector (como $S^1\times S^2$).

1. Bajo qué condiciones precisas es $k\in \mathbb{Z}$ requerido? Si me han abierto un colector, decir $\mathbb{R}^3$ debe $k$ todavía ser cuantificada?

2. También he oído que los datos del nivel de cuantización depende de si el colector es girar o no-spin (o $\text{spin}_c$). ¿Por qué importa esto?

Answer 1

Comentarios a la OP de la primera subquestion (v3):

• El Chern-Simons (CS) de la acción $S[A]$ siempre es invariante bajo infinitesimal medidor de transformaciones. Si se requiere el CS factor de Boltzmann para ser invariantes bajo de gran calibre transformaciones $g:M\to G$, entonces el nivel de $k$ tiene que ser cuantificada. Véase también, por ejemplo, G. V. Dunne, Aspectos de Chern-Simons Teoría, arXiv:hep-th/9902115, eq. (58).

• Uno debe asegurarse de que el CS de Lagrange densidad es integrable, por lo que la acción $S[A]$ está bien definido y finito. Esto a su vez pone restricciones a la permitida calibre de los potenciales de $A$ y permitió calibre transformaciones $g$, en particular si el 2+1D spacetime $M$ es un no-compacto colector. Normalmente uno podría imponer ese $A$ $g$ debe desaparecer lo suficientemente rápido en "infinito", es decir, esencialmente en un punto de compactify el colector.