Compruebe si $\int _0^{\infty }\:\left(\frac{\arctan\left(x\right)}{\:2+e^{3x}}\right)dx$ converge/diverge.

Question

$$\text{Does }\int _0^{\infty }\:\left(\frac{\arctan\left(x\right)}{\:2+e^{3x}}\right)dx \text { converge/diverge?}$$

Tengo que usar la convergencia/divergencia teorema para comprobar si la integral converge o diverge.

Me doy cuenta de que:

$$\frac{\arctan(x)}{2+e^{3x}} \leq \frac{\arctan(x)}{e^{3x}} \leq \frac{\arctan(x)}{e^{x}}$$

También me doy cuenta de que $$-\pi/2 \leq \arctan(x) \leq \pi/2$$.

Así que puedo decir que

$$\frac{\arctan(x)}{2+e^{3x}} \leq \frac{\arctan(x)}{e^{3x}} \leq \frac{\arctan(x)}{e^{x}} \ \leq \frac{\pi/2}{e^{x}}$$

Así que aquí, acabo de demostrar que $$\int^{\infty}_{0}\frac{\pi/2}{e^x}dx$$ converge?

También podría dar un paso más y decir que

$$\frac{\pi/2}{e^x} \leq {\pi/2}$$ ya que lo que queremos es maximizar el numerador, mientras que hacer el denominador más pequeño, y sabemos que $\forall x \in [0,\infty), 1\leq e^x \leq \infty$?

Así que al final, puedo demostrar que $\int^{\infty}_{0} \pi/2 dx$ converge?

Answer 1

Hay un par de temas en el OP que necesitan ser abordados. En primer lugar, debemos obligado el integrando como

$$\left|\frac{\arctan(x)}{2+e^{3x}}\right|\le \frac{\pi/2}{2+e^{3x}}$$

Nota el valor absoluto signo impide la posibilidad de que el integrando de la ejecución de la medida de negativo. En este problema, que no es un problema pues el integrando es no negativo en el dominio de integración.

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La primera pregunta de la OP es:

"Así que puedo decir que

$$\frac{\arctan(x)}{2+e^{3x}} \leq \frac{\arctan(x)}{e^{3x}} \leq \frac{\arctan(x)}{e^{x}} \ \leq \frac{\pi/2}{e^{x}}"$$

">"Así que aquí, acabo de demostrar que $$\int^{\infty}_{0}\frac{\pi/2}{e^x}dx$$ converge?"

Sí, las desigualdades son correctos y se puede proceder a mostrar

$$\begin{align} \left|\int_0^\infty \frac{\arctan(x)}{2+e^{3x}}\,dx\right|&\le \frac{\pi}{2}\int_0^\infty e^{-x}\,dx\\\\ &=1\\\\ &<\infty \end{align}$$

Y hemos terminado!

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La segunda pregunta de la OP es:

"También podría dar un paso más y decir que

$$\frac{\pi/2}{e^x} \leq {\pi/2}$$ ya que lo que queremos es maximizar el numerador, mientras que hacer el denominador más pequeño, y sabemos que $\forall x \in [0,\infty), 1\leq e^x \leq \infty$?"

"Así que al final, puedo demostrar que $\int^{\infty}_{0} \pi/2 dx$ converge?"

No. Si bien es cierto que $\frac{\pi/2}{e^x}\le \frac{\pi}{2}$$x\in[0,\infty)$, este límite superior no proporciona la penetración en la convergencia o la falta de ella de la integral de interés. Es decir, muestra

$$\left|\int_0^L\frac{\arctan(x)}{2+e^{3x}}\,dx\right| \le \int_0^L \frac{\pi}{2}\,dx\to \infty\,\,\text{as}\,\,L\to \infty \tag 1$$

Así, a partir de $(1)$ no podríamos deducir que la integral de interés converge.

Answer 2

Estás muy cerca cuando escribes

"Así que aquí, sólo demostraría que $$\int^{\infty}_{0}\frac{\pi/2}{e^x}dx$ $ converja?"

Y la respuesta es sí.

Desde $(e^{-x})' = -e^{-x}$, $\int e ^ {-x} dx = -e ^ {-x} $, lo $\int_0^{\infty} e ^ {-x} dx = (-e ^ {-x}) \big|_0^ {\infty} = 1$, por lo que converge.