¿Qué más necesitamos para demostrar que $f(x)\equiv 0$ ?

Question

La condición $$f^{(n)}(0)=0,\ \ n=0,1,2,\cdots$$ no es suficiente para concluir que $f(x)\equiv 0$ . ¿Qué condiciones podemos añadir para obtener $f(x) \equiv 0$ ?

Es $$|f^{(n)}(x)|\leqslant n!C^n,$$

donde $C$ es una constante, ¿es una condición suficiente?

¿Podemos mejorarlo?

Answer 1

Si $f$ es analítica en un dominio $D \subseteq \mathbb C$ que contiene $0$ y todos $f^{(n)}(0)=0$ entonces $f(x) \equiv 0$ en $D$ .

En particular, si hay $C$ tal que $|f^{(n)}(x)| \le n! C^n$ para todos $x$ en un intervalo $J$ que contiene $0$ entonces utilizando el teorema de Taylor con el resto de Lagrange encontramos que la serie de Taylor de $f$ sobre cualquier punto $p \in J$ converge a $f$ en un intervalo de $p$ por lo que existe un dominio que contiene $J$ .