Modelo de coeficientes binomiales p

Question

Quiero encontrar la siguiente suma mod$p$ (número principal): Let$i\geq \frac{p-1}{2}$,

$ \ sum_ {k = i} ^ {p-1} \ binom {k} {i} \ binom {k} {pi-1} \ pmod {p} $

De acuerdo, logré simplificar este argumento a lo siguiente, invertí$i$ para que fuera$\leq \frac{p-1}{2}$:

$\sum_{j=0}^i (-1)^j\binom{i}{j}\binom{i+j}{j}\equiv \pm 1\pmod{p}$

Answer 1

Considere el espacio proyectivo de la dimensión$i$ y permita que$V$ sea un espacio vectorial de la dimensión$i$ con$p\in \mathbb{P}^i$ (más de los números complejos). Para facilitar la escritura, escribiré$\wedge^kV(l)$ para$\wedge^kV\otimes \mathcal{O}(l)$. Entonces tenemos la resolución de Koszul,$$0\to \wedge^iV(-i)\to \wedge^{i-1} V(-i+1)\to\cdots \to V(-1)\to\mathcal{O}\to k(p)\to 0.$$ For any $ l <0$ (you can also do for other $ l$, but we don't need it for your question) twisting by $ l$ we see that $ \ sum (-1) ^ j \ chi (\ wedge ^ jV (-j + l)) = \ pm \ chi (k (p)) = \ pm 1$. But $ \ chi (\ wedge ^ jV (-j + l)) = h ^ i (\ cuña ^ jV (-j + l)) = h ^ 0 (\ wedge ^ jV (jli-1))$ (Canonically there are duals involved, but we are just computing dimensions). Taking $ l = -i-1$ and noting that $ h ^ 0 (\ mathcal {O} ( l) = \ binom {i + l} {l} $, obtienes lo que quieres.

Answer 2

Tenemos:

$$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k{n\choose k} x^k= (1-x)^n$ $$$\sum_{k=0}^\infty {{n+k} \choose n} x^k = (1-x)^{-n-1} $ $

Multiplicar y comparar coeficientes nos da:

$$\sum_{j=0}^n (-1)^j {n\choose j} {{n+j}\choose j} = (-1)^n\sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} {n\choose {n-j}} {{n+j}\choose n} =$ $$$(-1)^n[x^n] \frac{1}{1-x} = (-1)^n$ $

No se requiere módulo de reducción$p$.