¿La serie $\sum_{n=1}^{\infty}|x|^\sqrt n$ convergen pointwise?
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Jim Petkus
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Para $|x|\geq 1$, diverge como el término general no tiende a $0$.
Al $0<|x|<1$, tenemos $$ n^2|x|^\sqrt{n}=\exp\left(2\log n +\log|x|\sqrt{n}\right)=\exp\left(\log|x|\sqrt{n}\left(1+\frac{2\log n}{\log|x|\sqrt{n}}\right)\right)\longrightarrow 0. $$ Desde una convergencia de la secuencia es acotado, se deduce que existe una constante $C>0$ tal que $$ 0\leq |x|^\sqrt{n}\leq\frac{C}{n^2}\qquad\forall n\geq 1. $$ De ello se sigue que la serie converge absolutamente en comparación.
Para $x=0$, converge a $0$, si estamos de acuerdo en que $0^\sqrt{n}=0$$n\geq 1$.
Nota: no te vi también estaban preguntando acerca de la suma en el título. Por desgracia, yo no sé acerca de eso y Wolfram Alpha no da una forma cerrada, ya sea en el caso de $x=1/2$.
Did
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Si $|x|\geqslant1$ $|x|^\sqrt n\geqslant1$ no converge a cero por lo tanto la serie $\sum\limits_{n\geqslant1}|x|^\sqrt{n}$ diverge. Si $|x|\lt1$ a continuación, para cada $n$ en la losa $k^2\leqslant n\lt(k+1)^2$, $|x|^\sqrt{n}\leqslant|x|^k$ por lo tanto $\sum\limits_{n\geqslant1}|x|^\sqrt{n}\leqslant\sum\limits_{k\geqslant1}(2k+1)|x|^k$, lo que demuestra que la serie $\sum\limits_{n\geqslant1}|x|^\sqrt{n}$ converge. Como Harald Hanche-Olsen se mencionó en un comentario, esto puede ser visto como un caso de Cauchy de la prueba de condensación.
La suma de $S(x)=\sum\limits_{n\geqslant1}|x|^\sqrt{n}$ no tiene expresión simple al $|x|\lt1$. Sin embargo, $\sum\limits_{k\geqslant1}r^k=\frac{r}{1-r}$ $\sum\limits_{k\geqslant1}kr^k=\frac{r}{(1-r)^2}$ por cada $|r|\lt1$ por lo tanto el límite superior se explicó anteriormente muestra que $S(x)\leqslant|x|\frac{3-|x|}{(1-|x|)^2}\leqslant\frac{2}{(1-|x|)^2}$. Asimismo, para cada $k^2\leqslant n\lt(k+1)^2$, $|x|^\sqrt{n}\geqslant|x|^{k+1}$ por lo tanto $S(x)\geqslant\sum\limits_{k\geqslant1}(2k+1)|x|^{k+1}=|x|^2\frac{3-|x|}{(1-|x|)^2}$. En particular, $S(x)\sim\frac2{(1-|x|)^2}$ al $|x|\to1$.
