Le sugiero que comience por dibujar: dibujar el cuadro delimitador $[0,1)\times (-1,1)$, coloque el lápiz en $0,0$, y tratar de trazar varias funciones. Las siguientes son las observaciones y sugerencias, no hay pruebas lógicas.
Una primera idea es que, desde que se desea una función continua, monótona uno podría ser problemático en la asignación de un semi-intervalo abierto como $[0,1)$ a una abierta como $(-1,1)$. Usted puede encontrar un lugar en $[0,1)$ donde $f(x)$ enfoques $ 1$ y la otra ubicación en $[0,1)$ donde $f(x)$ enfoques $ -1$. Si estas ubicaciones son en algunos $[\epsilon,1-\epsilon]$ ($\epsilon >0$), la continuidad puede imponer que los valores de $-1$ o $1$ será alcanzado estrictamente dentro de $[0,1)$, lo que no quiere.
Uno de los restantes elección es que los valores de $y=-1$ $y=1$ son ambos se acercaron en el extremo abierto de la $\left[.~ 1\right)$. Así que usted puede ser que necesite una función que oscila infinitamente a menudo cerca de $x=1$. En otras palabras, puede ser sabio para abrir $[0,1)$ a veces como $[0,+\infty)$.
En resumen, los tres ingredientes principales ingredientes podría ser útil, en la forma de una beca de funciones continuas que podía componer. Muchas opciones son posibles, aquí es un (préstamos de Tolkien Anillo poema).
- tres funciones de la unidad de intervalo de $[0,1)$ hasta el cielo $[0,+\infty)$ (a partir de ahora $f_0$, $f_1$, $f_\phi$),
- uno para la oscilación de los lores en sus infinitas $[0,+\infty)$ sala de sonido (en adelante,$f_2$),
- una función para atraerlos a todos y en $]-1,1[$ unen a ellos (en adelante,$f_3$),
en la Tierra de funciones, donde la continuidad de la mentira (de hecho, funciones continuas tienden a emitir continua sombras conectado a intervalos).
El primer ingrediente de la $f_1(x)$ es fácil con funciones de ustedes saben, definido en algunos $[a,b[$, con una singularidad en $b$. Es fácil de reasignación $[a,b[$$[0,1[$, así que vamos nos atenemos a ese intervalo de $[0,1[$. Ejemplos: $\frac{1}{1-x}$, $-\log (1-x)$, $\tan (\pi x/2)$, y muchas más.
Si desea más flexibilidad, puede empezar con cualquier función de $f_0$ mapa $[0,1[$ a $[0,1[$: $x^p$ con $p>0$, $\sin(\pi x/2)$, $\log(1+x(e-1))$.
Para el segundo ingrediente de la $f_2$ $[0,+\infty)$ , el seno es un buen pick, y un montón de combinaciones de senos y cosenos, como un sonido. Pero usted tiene un montón de lujo alternativas. Y usted puede conectar fácilmente en una función de $f_\phi$ que se asigna a $[0,+\infty)$ $[0,+\infty)$(por ejemplo $\exp(x)-1$, $x^p$).
La elección de $f_2$ es posiblemente el más sensible, ya que tendrá que estrictamente obligado después dentro de $ (−1,1)$, por lo que necesitará un tercer ingrediente: una función de $f_3$ que compensa (como un producto por ejemplo) de la envolvente de $f_2$, de modo que el resultado no exceda el $1$ en valor absoluto. Así que para el seno, $x^p$ o $(\exp(x)-1)/(e-1)$ va a hacer el trabajo. Una función cuya magnitud es estrictamente menor que $1$, y tiende a $1$ $x\to 1$ es probable que funcione.
Por último, una función puede ser obtenida mediante la composición de $f(x)= f_3(x)\times \left( f_2\left( f_\phi\left( f_1\left( f_0\left( x\right)\right)\right)\right)\right)$.
En su caso, usted tiene por ejemplo $f_0(x)=x$, $f_1(x)=(\frac{1}{1-x})$, $f_\phi(x)=x$, $f_2(x)=\sin(x)$, $f_3(x)=x^2$.
Aunque no es totalmente genérico, se puede cocinar de muchas recetas. Por ejemplo (ver imagen de abajo):$$f(x)=\sin(\pi x^7/2)\sin \left( \tan \left(\pi \sqrt{x}/2\right)\right)\,.$$
![fancy chirping continuous function]()
