Duda con los espacios vectoriales (base y dimensión)

Question

Buenas noches, estoy trabajando en un problema, necesito una base y la dimensión del espacio.

$a{1}=(1,0,0,-1),\:a{2}=(2,1,1,0),\:a{3}=(1,1,1,1),\:a{4}=(1,2,3,4),\:a_{5}=(0,1,2,3)$

Hago esto:

$\left [\begin {array}{cccc} 1&0&0&-1\ 2&1&1&0 \ 1&1&1&1\ 1&2&3&4 \ 0&1&2&3\end{matriz} \right]$

y aplicar gauss para reducir la matriz:

$ \left [\begin {array}{cccc} 1&0&0&-1\ 0&1&0&1 \ 0&0&1&1\ 0&0&0&0 \ 0&0&0&0\end{matriz} \right]$

Ahora, tengo 3 vectores linealmente independientes y mis dimensiones son 3. pero, ¿puedo tomar cualquier vector y van linealmente independientes? por ejemplo: $a{1}=(1,0,0,-1),\:a{2}=(2,1,1,0),\:a_{3}=(1,1,1,1)$

o

$a{3}=(1,1,1,1),\:a{4}=(1,2,3,4),\:a_{5}=(0,1,2,3)$

¿y va a ser linealmente independiente? ¡Gracias!

Answer 1

En este caso usted está encontrando una base para la rowspace de la matriz de configurar. El distinto de cero filas de la fila-la reducción de la matriz se extienden por el espacio fila de la matriz original. Sólo el cero filas son linealmente independientes.
Así que si tu cálculo es correcto, la respuesta debe ser {(1,0,0,-1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}
Usted puede tomar un vistazo a este sitio para obtener más detalles: http://www.math.tamu.edu/~fnarc/psfiles/find_bases.pdf

Answer 2

Desde que se construyó una matriz de un conjunto de vectores como vectores fila, básicamente está buscando una base del espacio fila de la matriz (el espacio de los vectores fila), vamos a llamar a esta matriz $A$.

Fila operaciones no cambian el espacio fila de una matriz, por lo que para construir una base para el espacio fila, lo que hay que mirar son el pivote de filas en la reducción de la fila-forma escalonada de a $A$.

Podemos elegir el pivote filas de $\mathrm{RREF}(A)$ o de las filas correspondientes en $A$ como una base para el espacio vectorial generado por los vectores. Así que en este caso $\left\{(1,0,0,-1), (2,1,1,0), (1,1,1,1)\right\}$ $\left\{(1,0,0,-1), (0,1,0,1), (0,0,1,1)\right\}$ son las dos bases del espacio vectorial generado por los dados los vectores.

Una manera en que yo prefiero hacerlo, es construir la matriz de los vectores como columnas. En este caso estamos tratando de determinar una base para el espacio columna de a $A$:

$$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 4 & 3\end{bmatrix},$$

$$\mathrm{RREF}(A)=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.$$

Lo $\mathrm{RREF}(A)$ nos está diciendo es que las columnas $1$, $2$, y $4$ de la matriz $A$ forma una base para el espacio columna de a $A$ (debido a que estas son las columnas dinámicas). es decir, $\left\{(1,0,0,-1), (2,1,1,0), (1, 2, 3, 4)\right\}$ es una base para el espacio generado por el conjunto de vectores dado.

Lo $\mathrm{RREF}(A)$ también nos dice es que $\mathbf{c}_{3}=-1\mathbf{c}_{1}+1\mathbf{c}_{2}$, o $$(1,1,1,1)=-1(1,0,0,-1)+1(2,1,1,0),$$ y también, $\mathbf{c}_{5}=1\mathbf{c}_{1}-1\mathbf{c}_{2}+1\mathbf{c}_{4}$, o $$(0,1,2,3)=1(1,0,0,-1)-1(2,1,1,0)+1(1,2,3,4).$$

El vector que se expresa como dijo combinación lineal es, por supuesto, la columna de $A$ que corresponde a un no-pivote en la columna de $\mathrm{RREF}(A)$. Los vectores de la combinación lineal son los vectores columna de a $A$ que corresponden a la dinámica en la fila, y su correspondiente coeficiente de la combinación lineal es la entrada en la misma fila, en la actual no la columna pivote. Es un poco confuso de explicar, pero espero que usted puede ver por el ejemplo que les he dado.

Answer 3

Esto quizás no es lo esperamos pero le doy de todos modos tal ves otra forma de resolver su problema. Desde dado vectores componentes son simples que usted puede tratar de ver a primera vista con un poco de atención sobre las relaciones lineales entre ellas. Tienes $$a_2-a_1=a_3\a_4-a_3=a_5$$ hence $$a_4+a_1-a_2=a_5$$ Putting now, in order to know if $ a_1, a_2, a_4$ son linealmente independiente, $$\alpha a_1+\beta a_2+\gamma a_4=0\iff \begin{cases} \alpha+2\beta+\gamma=0\\beta+2\gamma=0\\beta+3\gamma=0\-\alpha +4\gamma=0\end{cases}\iff \alpha=\beta=\gamma=0 $ $, por lo tanto tiene dimensión $3$ y se puede tomar el % base $${a_1,a_2,a_4}$$