He estado tratando de seguir un ejemplo dado por Lang en su texto de álgebra en la cual calcula el grupo de Galois de $x^5 - x - 1$ $\mathbb{Q}$ (página 274). En particular, los factores del polinomio como $(x^2 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1) \pmod 2$ y entonces concluye que el grupo de Galois debe contener el producto de un ciclo de 2 y un 3-ciclo. ¿Este es un caso especial de un resultado general que debo saber? ¿Si es así, hay una prueba del hecho en Lang?
Respuesta
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No dices de qué edición de Lang: el 3? De todos modos, el resultado Lang implícitamente está utilizando aquí es que la Prop. 2.8 p.344 VII-2 (3ª ed.), o Teorema 2.9 p.345 VII-2 (3er. ed), o Prop. 15 p.248 IX-2 (1ª ed.) Veo en la 3ª ed., en la p.274, justo encima de su ejemplo, él indica que el resultado que necesita, y se refiere a Teorema 2.9.
La idea básica es que usted tiene un polinomio con coeficientes enteros $f(x)$ y ha reducido mod $p$. Ahora $\pi:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es un epimorphism. Parece plausible que usted podría utilizar $\pi$ a "pull back" automorfismos de la extensión de los campos de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ a automorfismos de la extensión de los campos de $\mathbb{Q}$. Es decir, si el $\mathbb{Q}$-extensión del campo viene de $f(x)$, y el $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-extensión del campo viene de $f(x)$ de reducción de mod $p$. Teorema 2.9 es una declaración precisa de lo que en realidad tiene.
