Delta-método-ish pregunta

Question

Este es un problema de Resnick pesado de cola de análisis del libro:

Deje $\{X_n\}$ ser una secuencia de variables aleatorias tales que $EX_n=m$ y Var$(X_n)=\sigma_n^2>0$ todos los $n$ donde $\sigma_n^2\rightarrow 0$ $n\rightarrow\infty$ Definir $$Z_n=\sigma_{n}^{-1} (X_n-m)$$ and let $f$ be a function with non-zero derivative $f'(m)$ at $m$. Mostrar que

(1) $X_n-m\Rightarrow0$

(2) Si $$Y_n=\frac{f(X_n)-f(m)}{\sigma_n^{-1}f'(m)}$$show that $Y_n-Z_n\Rightarrow 0$

(3)Demostrar que si $Z_n$ converge en probabilidad o de la distribución, así que no $Y_n$.

(4)Si $S_n$ se distribuye binomial con parámetros de $n$$p$$f'(p)\ne0$, el uso de los anteriores resultados para determinar la distribución asintótica de $f(S_n/n)$

Intento de solución

(1)es suficiente para mostrar que $X_m-m\rightarrow 0$ en la probabilidad con la que se puede de la siguiente manera fácilmente por la desigualdad de Chebyshev.

(2) no estoy seguro de cómo hacer esto. Ya que estamos a sólo dado que la función es diferenciable en a $m$, parece que Taylor teorema es el camino a seguir. Así que la reescritura de esta cuestión con expansión de Taylor de primer grado, hemos $$f(X_n)=f(m)+f'(m)(X_n-m)+h(X_n)(X_n-m)$$ and rearrange the term and dividing by $\sigma_n$ we get $$\frac{f(X_n)-f(m)}{\sigma_n f'(m)}-\frac{X_n-m}{\sigma_nf'(m)}=\frac{h(X_n)(X_n-m)}{\sigma_n f'(m)}$$ me quedé atrapado aquí, ya no sé qué hacer con el HR..

Yo no figura (3) y (4) ya que creo que ellos se basan en el resultado de (2)..Puede alguien explicar lo que este problema está tratando de decir? Yo creo que se ve como método Delta en las estadísticas..

Answer 1

Aquí es una prueba para $(2)$ suponiendo que $f'(x)$ es continua en a $x=m$(podemos deshacernos de esta suposición sin dificultad particular, ver el final de la respuesta) \begin{align} Y_n - Z_n & = \frac{f(X_n)-f(m)}{\sigma_n^{-1}f'(m)} - \frac{X_n - m}{\sigma_n} \\ & = \frac{f'(\xi_n)(X_n - m)}{\sigma_n^{-1}f'(m)} - \frac{X_n - m}{\sigma_n} \\ & = \left(\frac{f'(\xi_n)}{f'(m)} - 1\right)\frac{X_n - m}{\sigma_n} \\ \end{align} donde $\xi_n$ se encuentra entre $X_n$$m$. Desde $X_n$ converge a $m$ de probabilidad, por lo que no $\xi_n$. Entonces la suposición de que $f'(x)$ es continua en a $x=m$ da $\frac{f'(\xi_n)}{f'(m)} - 1$ converge a $0$ en la probabilidad.

Para cualquier $\epsilon >0$, tenemos \begin{align} P(|Y_n - Z_n| > \epsilon) \leq & P(\left|\frac{X_n - m}{\sigma_n}\right| > N) + P(\left|\frac{X_n - m}{\sigma_n}\right| \leq N, \left|\frac{f'(\xi_n)}{f'(m)} - 1\right| \geq \frac{\epsilon}{N}) \\ \leq & P(\left|\frac{X_n - m}{\sigma_n}\right| > N) + P(\left|\frac{f'(\xi_n)}{f'(m)} - 1\right| \geq \frac{\epsilon}{N}) \\ \end{align} y tenemos que $$P(\left|\frac{X_n - m}{\sigma_n}\right| > N) \leq \dfrac{E\left(\frac{X_n - m}{\sigma_n}\right)^2}{N^2} =\dfrac{1}{N^2}$$

Para cualquier $\delta >0$, tome $N$ tal que $\dfrac{1}{N^2} < \dfrac{\delta}{2}$, entonces la convergencia en probabilidad de $\frac{f'(\xi_n)}{f'(m)} - 1$ implica al $n$ es lo suficientemente grande, tenemos $P(\left|\frac{f'(\xi_n)}{f'(m)} - 1\right| \geq \frac{\epsilon}{N}) < \frac{\delta}{2}$

En resumen, hemos demostrado $Y_n - Z_n$ converge en probabilidad a $0$

A continuación, $(3)$ sigue a partir del teorema de Slutsky

Un argumento similar utilizando la Peano forma de Taylor recordatorio le permite deshacerse de la asunción de la continuidad, es decir, con $OP$'s de la notación, tenemos $h(X_n)$ converge a $0$ de probabilidad, a continuación, repita los argumentos para demostrar $h(X_n)\dfrac{X_n - m}{\sigma_n f'(m)}$ converge a $0$ en la probabilidad