Prueba de una desigualdad Integral

Question

Que $f\in C^0(\mathbb R+,\mathbb R)$ y $a\in\mathbb R+$, $f^(x)=\dfrac1x\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt$ cuando $x>0$ y $f^(0)=f(0)$. Mostrar que $$ \int_0^a(f^*) ^ 2 (t) \,dt\le4\int_0^af^2 (t) \,dt$$

Traté de integración por parte sin éxito, y Cauchy-Schwarz no está ayudando aquí.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Suponer sin pérdida de generalidad que $f\geqslant0$. Escrito $(f^*)^2(t)$ $$ (f^*)^2(t)=\frac1{t^2}\int_0^tf(y)\left(\int_0^tf(x)\mathrm dx\right)\mathrm dy=\frac2{t^2}\int_0^tf(y)\left(\int_0^yf(x)\mathrm dx\right)\mathrm dy, $$ y el uso de Fubini, uno ve que $$ A=\int_0^a(f^*)^2(t)\mathrm dt=2\int_0^af(y)\int_0^yf(x)\mathrm dx\int_y^a\frac{\mathrm dt}{t^2}\mathrm dy, $$ por lo tanto $$ Un\leqslant2\int_0^af(y)\frac1y\int_0^yf(x)\mathrm dx\,\mathrm dy=2\int_0^af(y)f^*(y)\mathrm dy. $$ De Cauchy-Schwarz aplicado a la CARTA de los rendimientos $$ A^2\leqslant4\left(\int_0^af(y)f^*(y)\mathrm dy\right)^2\leqslant4\int_0^af^2(y)\mathrm dy\cdot\int_0^a(f^*)^2(y)\mathrm dy=4A\int_0^af^2(y)\mathrm dy, $$ y el resultado de la siguiente manera.