Encontrar un $u$ así que $k(u)$ es el campo fijo de $φ$, determine el polinomio mínimo $k(u)$

Question

Deje $k = F_p$, y deje $k(x)$ ser la función racional de campo en una variable sobre la $k$. Definir $φ : k(x) \to k(x)$$φ(x) = x+1$. Mostrar que $φ$ ha finito de orden en $Gal(k(x)/k)$. Determinar este orden, encontrar una $u$, de modo que $k(u)$ es el campo fijo de $φ$, determinar el polinomio mínimo de más de $k(u)$$x$, y encontrar todas las raíces de este polinomio mínimo.

Ahora el orden de $\phi$ $p$ pero ¿y el resto? Puedo ver que si considero $u=x^p -x$$\phi (x^p -x)=(x+1)^p-(x+1)= x^p -x$, $\phi$ corrige esta $k(u)$. Ahora, es este el campo fijo? Si es así, ¿por qué? y qué pasa con el resto?

Answer 1

Sé por experiencia que esto puede ser increíblemente confuso. Se han identificado correctamente el campo fijo de $\varphi:x\mapsto x+1$$k(x^p-x)$, y llamó a su elemento de generación de $u$. Si usted determinar que $\bigl[k(x)\colon k(u)\bigr]=p$, se han identificado al completar el campo fijo como $k(u)$ debido a que los grados son a la derecha.

Así que todo lo que necesitas hacer es encontrar la $k(u)$-polinomio $\text{Irr}\bigl(x,k(u)[X]\bigr)$: un polinomio irreducible en $X$ con coeficientes en $k(u)$ tener $x$ como una raíz. De hecho, el polinomio voy a mostrar tiene coeficientes en la UFD $k[u]$.

El polinomio es $X^p-X-u$. Observe que cuando usted lo enchufa en $x$$X$, obtendrá cero. Que ver de un vistazo lo que el otro raíces, y no es difícil ver por qué el polinomio es irreducible.