Problemas con el corte de la rama

Question

Estoy tratando de evaluar lo que parece ser una integral de contorno sencilla:

$$I=\int_{\gamma} \frac{dz}{\alpha + \beta z} $$

donde $\gamma (t) = e^{-it}$ , $t \in \left[ 0,\pi\right]$ , $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ y $|\alpha| \ne |\beta|$ . Explícitamente,

$$I=\int_{0}^{\pi} \frac{(-ie^{-it})dt}{\alpha + \beta e^{-it}}$$ $$=-i\int_{0}^{\pi} \frac{dt}{\alpha e^{it} + \beta }$$

Quiero decir que

$$I=\frac{1}{\beta}\left(\log\left(\frac{\beta -\alpha}{\beta +\alpha}\right)-i \pi \right)$$

pero siento que estoy descuidando algunas cuestiones sutiles de corte de ramas. Cualquier ayuda o idea sería muy apreciada.

Answer 1

Hay que tener cuidado de utilizar una rama del logaritmo que sea analítica en una vecindad del contorno, que en este caso es el semicírculo en el semiplano inferior desde $1$ a $-1$ . Supongamos que $\beta \ne 0$ (el caso $\beta = 0$ siendo muy fácil). El integrando tiene un polo en $z = -\alpha/\beta$ que no está en el contorno ya que $|\alpha| \ne |\beta|$ . Ahora $\frac{\log(\alpha + \beta z)}{\beta}$ es una antiderivada, pero ¿dónde poner el corte de la rama? El corte de rama debe ser una curva desde el punto de rama $z = -\alpha/\beta$ a $\infty$ . Si se utiliza la rama de log cuya parte imaginaria es de $\tau$ a $\tau + 2 \pi$ El corte de la rama tiene $\alpha + \beta z = r e^{i\tau}$ es decir $z = (-\alpha + r e^{i\tau})/\beta$ , para $0 < r < \infty$ . Si $\beta = b e^{i\theta}$ con $b > 0$ que se extiende desde $-\alpha/\beta$ en la dirección del argumento $\tau - \theta$ . Tienes que asegurarte de que no se golpea el semicírculo. Por ejemplo, si $-\alpha/\beta$ está en la región azul que se muestra a continuación, $\tau - \theta = \pi/2$ estaría a salvo, mientras que en la región roja $\tau - \theta = -\pi/2$ estaría a salvo.

Así, con $\alpha = 1$ y $\beta = -2 i$ , $-\alpha/\beta = -i/2$ está en la región azul, $\theta = -\pi/2$ y podemos tomar $\tau = 0$ una antiderivada es $F(z) = -\frac{i}{2} \log(1 - 2 i z)$ donde la parte imaginaria del logaritmo está entre $0$ y $2 \pi$ . La integral es entonces $$ \eqalign{ F(-1) - F(1) &= \frac{i}{2} \left(\log(1 + 2 i) - \log(1 - 2 i)\right)\cr &= \frac{i}{2} \left( \frac{\ln 5}{2} + \arctan(2) i - \frac{\ln 5}{2} - (2 \pi - \arctan(2)) i \right)\cr & = \pi -\arctan(2)\cr}$$