¿Clasificación de variedades proyectivas lisas simplemente conectadas?

Question

Esta pregunta está relacionada con este.

Me pregunto si hay algún tipo de clasificación de simplemente conectado suave variedades proyectivas, o cualquier trabajo relacionado con las direcciones.

La razón por la que estoy interesado en esto es debido a que, por Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan, suave variedades proyectivas son formales. Por lo tanto, si tenemos un suave proyectiva variedad que simplemente se conecta, y si sabemos de su cohomology anillo, entonces podemos calcular su racional homotopy teoría.

Answer 1

Hay un trabajo en esta dirección, pero está claro que se va a ir en para las edades. Incluso en el caso de las superficies de los conocimientos es muy pequeña. Por ejemplo, por Yau del teorema es conocido que la superficie de cada homeomórficos a $\mathbb CP^2$ es biholomorphic a $CP^2$. Pero es que aún se desconoce si hay una superficie de tipo general homeormorphic a $\mathbb CP^2$ volado en $1$ punto.

En general, no hay muchos ejemplos de topológico tipos de superficies, de la que conocemos la clasificación, aquí es uno de los ejemplos, cuando la clasificación se puede hacer http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0909/0909.1733v1.pdf (aunque es muy importante que el grupo fundamental es no trivial).

Hay un muy buen artículo de Carlos Simpson, hablando de la enorme brecha entre las restricciones sobre lo que sabemos sobre algebraicas (Kahler) colectores y ejemplos reales que pueden ser construidos. http://math.unice.fr/~carlos/memorias/kg7.pdf

En el lado positivo, se puede decir, por ejemplo, que el 3-dimensional Fano variedades se clasifican en 1980. Al mismo tiempo, la clasificación de 4 dimensiones Fano todavía no sale. Algunas personas estaban hablando recientemente de la posibilidad de utilizar derivados de categorías con el fin de predecir esta clasificación (en dim 4), pero no es del todo claro, ¿cuántos años pasarán antes de que esto se hará.

Comentario Final es que todos simplemente conectados a los colectores de la dimensión de hasta 6 son formales. Y, de nuevo, no sería una exageración decir que no sabemos mucho acerca de las posibles topológico tipos. Hay muy pocas restricciones conocidas procedentes sobre todo de Hodge de la teoría (como la paridad de los números de Betti, o restricciones en la cohomology anillo: ver Voisin "estructuras de Hodge en cohomology álgebras y la geometría" http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0703/0703523v3.pdf). También hubo un intento explícito de construir (a cobrar) en los ejemplos de (real) dimensión 6, dado en un buen artículo de Okonek y Van de Ven las Formas Cúbicas y de 3 pliegues. http://retro.seals.ch/cntmng;jsessionid=FF0F66FD1D82539A8CC10D78491EA4F4?type=pdf&rid=ensmat-001:1995:41::146&subp=hires

Answer 2

El mejor tipo de clasificación de suave variedades proyectivas sería una lista de tipos de deformación. Tenemos esta para curvas, y algo cerca de ella para superficies de Kodaira dimensión menor de 2. No tenemos una lista para suavizar las superficies de Kodaira de la dimensión 2, ni siquiera por el simplemente conectado, y la situación en las dimensiones superiores es peor.

La siguiente mejor tipo podría ser un invariante, a través de algoritmos computable a partir de la definición de las ecuaciones. Hasta donde yo sé, no tenemos esto. Por ejemplo, uno podría preguntar si el canónica anillo de $\bigoplus_n{H^0(K^n)}$ es algorítmicamente computable. Un reciente triunfo de la modelo mínimo del programa ha sido para demostrar que esto es finitely generado por la no-singular variedades de tipo general; su Proj es, entonces, el modelo canónico de la variedad. Supongo que no es efectivamente computable en la actualidad; tal vez alguien puede comentar sobre los resultados positivos o negativos en esta dirección (por ejemplo, para las superficies?).

Un todavía más débiles de la solicitud será la de un teorema que dice que "no existe un algoritmo para decidir si estas dos variedades son de deformación equivalente". Creo que probablemente tiene este, en virtud del teorema de Grothendieck que, después de arreglar el polinomio de Hilbert, no hay un adecuado esquema de Hilbert, que tiene sólo un número finito de componentes conectados. Como una cuestión de lógica (lógicos, por favor me corrigen si es necesario!), si hay sólo un número finito de posibilidades, existe un algoritmo para probar que uno tiene - porque existe una lista limitada de esas posibilidades, codificado como números, y usted sólo tendrá que comprobar la suya en contra de cada uno de ellos. Lo que no tenemos es un método práctico para producir esa lista.

Esta afirmación no tiene contenido; por el contrario, no hay ningún algoritmo para decidir diffeomorphism de compacto liso colectores (dado como real semi-analíticos conjuntos, por ejemplo) porque no se puede calcular $\pi_1$. No es un algoritmo para comprobar diffeomorphism de simplemente conectados a los colectores de la dimensión $>4$ (calcular el cohomology grupos, comparar la lista limitada de $k$-invariantes especificando la torre de Postnikov y, por tanto, la homotopy tipo, comparar la Pontryagin clases, la apelación a una finitud resultado de la cirugía de la teoría - ver Nabutovsky-Weinberger, "aspectos Algorítmicos de homeomorphism problemas", MR1707346).

Answer 3

Que es demasiado ambicioso, creo que, teniendo en cuenta lo que se sabe acerca de la clasificación de las variedades algebraicas. Ignorando el trivial, para estos efectos, el caso de las curvas, la próxima y mejor estudiado caso es superficies algebraicas. Para ellos, la clasificación clásica, y ha sido conocido por casi un siglo. Así que es un buen primer caso a considerar.

Por lo que se están preguntando: ¿cuáles son las lisas las superficies de $X$$\pi_1(X)=1$, y, en particular, con la regularidad $q=h^1(\mathcal O_X)=0$. Bien, recoger su texto favorito, Shafarevich etc. o la de Barth-(Hulek-)-Peters-van de Ven, o lo que sea, e ir a través de la lista.

Kodaira dimensión $-\infty$: aquí usted consigue todo racional de las superficies, y sólo estos.

Kodaira dimensión $0$: K3 superficies.

Kodaira dimensión $1$, elíptica superficies de $X\to C$ (un general de la fibra es de forma elíptica). Claramente, $C$ debe $\mathbb P^1$. Sin embargo, el conseguir $\pi_1(X)=1$ parece no completamente trivial condición, algo en que pensar.

Kodaira dimensión $2$, es decir, las superficies de tipo general. Así, los ejemplos de simplemente conectado superficies de tipo general son muy apreciados, especialmente si tienen $p_g=h^0(\omega_X)=0$. Muchas de estas superficies son conocidos (por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Barlow_surface, algunos Godeaux superficies, algunos Campedelli superficies), sino una completa clasificación? Ni siquiera cerca. Como dije, esto es demasiado ambicioso para el estado de conocimiento actual.