Demostrar que $\sum\frac{n+1}{(n+2)n!}$ converge

Question

<blockquote> <p>Mostrar que $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{(n+2)n!}$ converge, mediante la prueba integral.</p> </blockquote> <p>Me di cuenta de que $\displaystyle\sum\frac{n+1}{(n+2)n!} = \sum\frac{(n+1)^2}{(n+2)!}$, pero ¿cómo ir sobre la integración de un factorial?</p>

Answer 1

\sum{n\ge $$ 1} \frac {n+1} {(n+2) n!} \le \sum{n\ge 1} \frac {2n} {n(n-1) \cdot n} \le \sum{n\ge 1} \frac {2n} {\frac {1} {2} n ^ 3} = 4 \sum{n\ge 1} \frac {1} {n ^ 2}

Answer 2

Si prueba integral no es una necesidad, voy a probar siempre la prueba de razón cuando hay un factorial. Deje la secuencia $(a_n)$ definirse por

$$a_n = \frac{(n+1)^2}{(n+2)!} \text{ for } n \geq 1$$

Entonces

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+2)^2}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{(n+1)^2} = \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^2 \cdot \frac{1}{n+3} \rightarrow 1 \cdot 0 = 0$$

Por lo tanto la serie converge.

Answer 3

Teniendo en cuenta que $e^{n} = o(n!)$ y $n^{3} = o(e^{n})$ $n$ crecen, tenemos $$ \frac{n+1} {(n+2) n!}

Answer 4

ps

Answer 5

No es la integral de la prueba, pero tal vez es interesante notar que a partir de $$\sum_{n\geq0}\frac{x^{n}}{n!}=e^{x} $$ we have $$\sum_{n\geq1}\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}-1 $$ then $$\sum_{n\geq1}\frac{x^{n+1}}{n!}=xe^{x}-x $$ then if we differentiate $$\sum_{n\geq1}\frac{\left(n+1\right)x^{n}}{n!}=e^{x}+xe^{x}-1 $$ thus $$\sum_{n\geq1}\frac{\left(n+1\right)x^{n+1}}{n!}=xe^{x}+x^{2}e^{x}-x $$ and now if we integrate from $0 $ to $1 $ we get $$\sum_{n\geq1}\frac{\left(n+1\right)}{n!}\int_{0}^{1}x^{n+1}dx=\sum_{n\geq1}\frac{\left(n+1\right)}{n!\left(n+2\right)}=\int_{0}^{1}\left(xe^{x}+x^{2}e^{x}-x\right)dx=e-\frac{3}{2}. $$