Campos de número algébrico, en el que todos los primos racionales son inertes

Question

¿Hay un % de campo de número algébrico $F\supsetneq\mathbb{Q}$tal que todos los primos racionales son inertes en $\mathcal{O}_F$?

Answer 1

Hay muchas buenas razones por las que este campo de número no existe, pero aquí es elemental: si $F=\mathbb Q(\alpha)$, $\alpha$ a raíz de la $f\in \mathbb Z[x]$ monic irreducible de grado $>1$ $p$ es un inerte prime en $F$, $f$ es irreductible modulo $p$. Sin embargo, $f(\mathbb Z)$ debe ser estrictamente mayor que $\{0,\pm1\}$ ya que de lo contrario sería constante. Por lo tanto, existe $n\in\mathbb Z$ tal que $f(n)\neq 0,\pm1$. Pero entonces, por el teorema fundamental del álgebra existe un número primo $p$ tal que $p\mid f(n)$. Esto demuestra que $f$ tiene una raíz modulo $p$, por lo tanto no es irreducible!

Answer 2

Una mazo prueba el hecho de que no existe ningún tal campo número utiliza Teorema de Minkowski para el efecto que se ramifican cada campo número $F\neq\mathbf Q$ $\mathbf Q$. Esto significa que existe al menos un primer racional que se ramifica en $F$. Tal prime no es inerte.