Enunciado del problema: Vamos a $(X,\mathcal{A})$ ser un espacio medible, y deje $\mu$ $\nu$ dos finito medidas. Podemos decir $\mu$ $\nu$ son medidas equivalentes si $\mu \ll \nu$ $\nu \ll \mu$ (si $\nu$ $\mu$ son cada absolutamente continua w.r.t. en el otro). Mostrar que $\mu$ $\nu$ son equivalentes si y sólo si existe un $\mu$integrable función de $f$ es que es estrictamente positivo.e. w.r.t. $\mu$ tal que $d \nu = f d\mu$.
Mi intento de solución: Para la dirección inversa, traté de usar el Radon-Nikodym teorema. Desde $\mu$ $\sigma$- finito, y $\nu$ es finito, y $\nu \ll \mu$, existe un $\mu$-integrable, no negativo de la función, medibles función, la llamada se $f$, de tal manera que $\nu(A) = \int_A f d\mu$ todos los $A \in \mathcal{A}$. Ahora, sólo tenemos que demostrar que esta función es estrictamente positivo.e. para llegar a nuestra conclusión. Lo que trataba era de establecer $B = \{x : f(x) = 0\}$, y observando que $$\nu(B) = \int_B f d\mu,$$ nos encontramos con que $\nu(B) = 0$. Pero $\mu \ll \nu$, por lo que tenemos que $\mu(B) = 0$, así, y hemos terminado.
Para la dirección de avance, asumimos que existe una $\mu$-integrable, estrictamente positivo.e. la función de w.r.t. $\mu$ tal que $d\nu = f d\mu$. Ahora, esto implica que para cualquier conjunto medible $A$, $$ \nu(A) = \int_Af d\mu.$$ Está claro que $\nu(A) \ll \mu(A)$. Ahora si $\nu(A) = 0$,$0 = \int_A fd\mu$. Lo que me gustaría decir es que esto implica que $f = 0$.e. en $A$, lo que creo que puedo probar, pero que desde $f$ es estrictamente positivo.e., que, por tanto,$\mu(A) = 0$.
Aquí está mi problema: no creo que la he utilizado ese $\mu$ es una medida finita en cualquier lugar, que me hace muy incómodo. Yo también soy un poco inseguro sobre el argumento de la dirección de avance.
Mis disculpas por publicar tantas tareas que suenan preguntas en la sección de análisis últimamente estoy estudiando para una qual en septiembre, así que estoy tratando de hacer un montón de problemas antes de entonces, y esto parece un gran lugar para obtener ayuda cuando me quedo atascado - esperemos que no estoy siendo demasiado molesto.
