¿$0=\frac{13+13^2+13^3+\cdots}{1+2+3+\cdots}$ con sumas infinitas?

Question

Esta no es la tarea, solo curiosidad.

Mi pregunta surgió a partir de la aparente absurdo que $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$, aunque $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^z}$ sólo tiene sentido cuando se $Re(z)>1$.

Deje $f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n, \lvert{x}\rvert < 1$. Se sabe que $f(x)=\frac{1}{1-x}$. Ahora vamos a tomar el valor de $f$ al $x=13$ (que también tiene sentido en la misma forma que la toma de $z=-1$ tiene sentido). Entonces tenemos:

$$f(13) = \frac{1}{1-13}=-\frac{1}{12},$$ y, en consecuencia, $$\sum_{n=0}^\infty 13^n=\sum_{n=1}^\infty n,$$ $$1+\sum_{n=1}^\infty 13^n=\sum_{n=1}^\infty n,$$ $$1+\frac{13+13^2+13^3+\cdots}{1+2+3+\cdots}=1,$$ y finalmente $$\frac{13+13^2+13^3+\cdots}{1+2+3+\cdots}=0.$$

Básicamente la idea es que en el caso de $\zeta$, el LHS suma fue divergentes para el parámetro elegido, mientras que el lado derecho se convergente, de la misma manera que en el caso de $f$, el LHS se separaron mientras que el lado derecho se permitió a converger.

Así que, ¿por qué el anterior suceder?

Answer 1

Tu error está en pasar de $$1+\sum{n=1}^\infty 13^n=\sum{n=1}^\infty n$ $ a $$1+\frac{13+13^2+13^3+\cdots}{1+2+3+\cdots}=1.$ $ que divide el lado derecho por $\sum{n=1}^\infty n$, pero en el lado izquierdo que sólo divide el segundo término por $\sum{n=1}^\infty n$ y usted olvidó dividir el $1$ $\sum{n=1}^\infty n$. Si haces este paso correctamente, obtienes %#% $ #% que es (corregir un gran error en mi respuesta original), $$\frac1{\sum{n=1}^\infty n}+\frac{\sum{n=1}^\infty13^n}{\sum{n=1}^\infty n}=1,$ $