Cómo demostrar que existe un número real $y$ $0<y<1$ tal que $a_0+a_1y+\cdots+a_ny^n=0.$

Question

Supongamos que el verdadero número % satisfacen $a_0,a_1,\dots,an$y $x,$ $0<x a="" exists="" number="" real="" such="" that="" there="" with="" y="">Mi intento: no $$f(x)=a{n}x^n+a{n-1}x^{n-1}+\cdots+a{1}x+a{0}$ $ $$f(0)=a{0}$ $ $$f(1)=a{0}+a{1}+\cdots+a_{n}$ $

Pero cómo puede probar %#% $ #%

Gracias

</x>

Answer 1

Deja $$ f(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k \quad\text{ y }\quad g(z) = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{1-z^{k+1}}$$

Desde $0 < x < 1$, podemos reescribir $g(x)$ como absolutamente convergentes de alimentación de la serie.

$$g(x) = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{1-x^{k+1}} = \sum_{k=0}^n \left( a_k \sum_{p=0}^\infty x^{(k+1)p}\right) = \sum_{p=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n a_k x^{pk} \right) x^p = \sum_{p=0}^\infty f(x^p) x^p $$ En el lado derecho de la expresión anterior, todas las $x^p > 0$. Si algunos de $f(x^p)$ son no-cero y todos los no-cero $f(x^p)$ tienen el mismo signo, $g(x)$ no se puede sumar a $0$. Así que hay un par de enteros no negativos $r, s$ tal que $r < s$ $f(x^r) f(x^s) < 0$ o todos los $f(x^q) = 0$.

En el primer caso, IVT decirnos que hay $y \in (x^s, x^r) \subset (0,1)$ tal que $f(y) = 0$. En el segundo caso, podemos tomar $y = x$$f(y) = 0$.