Supongamos $G$ es un grupo finito de orden $|G|>1$, e $\mathbb{Q}[G]$ es el anillo de grupo. Tengo curiosidad acerca de un ejemplo de un trivial elemento invertible, es decir, uno que no es de la forma$ag$,$a\in\mathbb{Q}$$g\in G$.
Este proviene de una antigua UCLA qual problema de 2002. Un ejemplo se da en la parte inferior de este documento en la página 2, pero utiliza algunos hechos acerca de matrices circulantes. Tengo curiosidad si hay una alternativa ejemplo, o simplemente un general de la existencia de un argumento.
Respuestas
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Igor Rivin
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Ya que cada grupo finito contiene un subgrupo cíclico de primer orden, su pregunta se reduce a que, donde la respuesta puede ser obtenido mediante simples operaciones aritméticas con las raíces de la unidad (que probablemente se reduce a la circulantes de la matriz que lo que está aludiendo a). Sin embargo, en un poco más de configuración general, Higman (en este documento) calcula la estructura del grupo de unidades de un anillo de grupo de un número finito de abelian grupo. (en general, esta pregunta es muy duro).
hunter
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(Esta es sólo una más en profundidad de la versión de Igor Rivin la respuesta en caso de que usted es nuevo a estos tipos de argumentos).
Para el grupo cíclico de orden $n$, su anillo de grupo es isomorfo a $\mathbb{Q}[T]/(T^n - 1)$ que es simplemente la suma directa de los cyclotomic campos de $\mathbb{Q(\zeta_d)}$ $d | n$ (incluyendo $d = 1$, así por ejemplo, si $n = p$ es el primer consigue $\mathbb{Q}(\zeta_p) \oplus \mathbb{Q}$... que puede tener que ser un poco más cuidadoso si $n$ es aún, así que vamos a suponer que no).
Para escribir las unidades en esto, sólo tiene que elegir algo distinto de cero en cada sumando. Para un ejemplo concreto, vamos a dejar que $n = 3$ y escribir $\omega$$\zeta_3$. Tenemos
$$ (a + b\omega_3, c) \in \mathbb{Q}(\omega) \oplus \mathbb{Q} $$ que será una unidad a menos que $c = 0$$a = b = 0$. Vamos a pasar de vuelta al anillo de grupo para verificar que (algunos de ellos) no son "trivial" en su sentido.
Escribir $G = \langle g \rangle$. El isomorfismo va (el primer $=$ es sólo $g\mapsto T$, la primera flecha es el teorema del resto chino, y el último se evalúa $T$ $\omega$resp. $1$)
$$ \mathbb{Q}[G] = \mathbb{Q}[T]/(T^3 - 1) \to \mathbb{Q}[T]/(T^2 + T +1) \oplus \mathbb{Q}[T]/(T-1) \to \mathbb{Q}(\omega) \oplus \mathbb{Q} $$
Queremos ir hacia atrás a lo largo de estas identificaciones, así que tenemos que descomprimir el teorema del resto Chino.
Buscamos $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}[T]/(T^3-1)$ tal que $\alpha + \beta = 1$, $(T^2 + T + 1)|\alpha$, y $(T - 1) | \beta$. A continuación, la preimagen de $(f, g)$ por debajo del teorema del resto Chino mapa se $\beta f + \alpha g$.
Utilizando el algoritmo de Euclides (o adivinar y comprobar) da $\alpha = \frac{1}{3}(T^2 + T + 1)$$\beta = \frac{-1}{3}(T-1)(T+2)$.
Hemos terminado! $(a + b\omega_3, c)$ ascensores
$$ \frac{1}{3}\left(-(g-1)(g-2)(a + bg) + (g^2 + g + 1)(c) \right). $$
Estoy fuera de tiempo, así que voy a dejar a usted para poner en orden esta expresión y ver cuando es no trivial (y comprobar para asegurarse de que no se equivoca!) Tenga en cuenta que $g^3 = 1$ simplifica las cosas.
