MCMC Metropolis Hastings - Distribución normalizada

Question

Estoy leyendo sobre MCMC en este PDF MCMC de Murphy (1), en la página 4, por encima de la ecuación (21) el autor afirma:

"Obsérvese que al evaluar (la probabilidad de aceptación), sólo necesitamos conocer la densidad del objetivo p hasta una constante de normalización. En particular, supongamos que $(x) = 1/Z ((x))$ , donde $(x)$ es una distribución no normalizada y $Z$ es la constante de normalización".

¿Puede alguien explicarme, especialmente de forma gráfica, por qué es importante? ¿El hecho de que sólo necesitemos conocer la distribución objetivo no normalizada? Más adelante en el texto, afirma que a menudo es difícil calcular $Z$ , lo cual supongo que $Z$ puede ser la integral de $(x)$ ? ¿No? Gracias.

(1) Kevin P. Murphy (2006),
"Cadena de Markov Monte Carlo (MCMC)",
Última actualización: 3 de noviembre de 2006

Answer 1

$Z$ sería la integral de $\pi^\prime$ (es decir, la integral de la densidad no normalizada). La integral de $\pi$ sería 1.

Evaluar la integral con precisión sería a menudo difícil (o cuando no es difícil, al menos consume tiempo).