¿Por qué converge la $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\ln(n^2) \over (n^2) }$?

Question

Tengo que demostrar que converge la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\ln(n^2) \over n^2 }$. ¿La prueba de relación no es concluyente, así que debo utilizar la prueba de comparación, pero cual debo Comparar con? Traté de ${1\over n}$, ${1 \over n^2 }$, pero necesito una serie más grande que converge para demostrar que éste converge.

Answer 1

Demostrar que $0\le \ln n \le \sqrt{n}$ primera y $$ 0\le \frac{\ln n ^ 2} {n ^ 2} = n \frac{2\ln} {n ^ 2} \le \frac{2}{n\sqrt{n}}. $$ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\sqrt{n}}$ converge.

Answer 2

Considerar el $a_n:=\frac{\ln (n^2)}{n^2}$, $b_n:=\frac{1}{n^{3/2}}$. Tenemos

$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_n}{bn}=\lim\limits{n \to \infty}\frac{\ln (n^2)}{n^{1/2}}=\lim\limits_{n \to \infty}\big(2\cdot \frac{\ln (n)}{n^{1/2}}\big)=0.$$

Por lo tanto, existe $N$ tal implica de que $n>N$ $\frac{a_n}{b_n} N$ $a_n

Answer 3

Teorema de Stolz-Cesaro $a_n = \log n, bn = n^2$: $$ \sum{k=1}^{\infty} \frac{\log (k +1)-k \log} {(k+1) ^ 2 - k ^ 2} \sim \sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(2k+1)} \sim \frac{1}{2} \sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} $$

El segundo paso es debido a la expansión de la serie de Maclaurin. El último es un famoso $\zeta(2)$.