La integral es $$\int \dfrac{(1 + x)\sin x}{(x^2 + 2x)\cos^2 x-(1 + x)\sin2x}dx.$$ He probado el problema multiplicando primero el numerador y el denominador por $\sec^2 x$ pero no pudo hacer justicia. ¿Puede alguien ayudar, por favor?
Respuestas
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Dejemos que $$\displaystyle I = \int\frac{(1+x)\sin x}{(x^2+2x)\cos^2 x-(1+x)\sin 2x}dx$$
$$\displaystyle I = \int\frac{(1+x)\sin x}{(x^2+2x+1)\cos^2 x-(1+x)\sin 2x-\cos^2 x}dx$$
$$\displaystyle I = \int\frac{(1+x)\sin x}{\left[(x+1)\cos x\right]^2-2(x+2)\sin x\cdot \cos x-(1-\sin^2 x)}dx$$
Así que $$\displaystyle I = \int\frac{(1+x)\sin x}{\left[(x+1)\cos x\right]^2-2(x+1)\sin x\cdot \cos x+\sin^2 x-1}dx$$
$$\displaystyle I = \int\frac{(1+x)\sin x}{\left[(x+1)\cos x-\sin x\right]^2-1^2}dx$$
Ahora dejemos $(x+1)\cos x-\sin x = t\;,$ Entonces $(x+1)\sin xdx = -dt$
Tan Integral $$\displaystyle I = -\int\frac{1}{t^2-1}dt = -\frac{1}{2}\int\left[\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right]dt$$
Así que obtenemos $$\displaystyle I = \frac{1}{2}\left[\ln|t+1|-\ln|t-1|\right]+\mathcal{C} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t+1}{t-1}\right|+\mathcal{C}$$
Así que obtenemos $$\displaystyle I = \frac{1}{2}\ln \left|\frac{(x+1)\cos x-\sin x+1}{(x+1)\cos x-\sin x-1}\right|+\mathcal{C}$$
frank000
Puntos
2056
Puede ser útil factorizar el denominador y hacer la fracción parcial de esta manera
Denominador $=(x^2+2x+1)\cos^2(x)-(1+x)\sin2x-\cos^2x\\=\cos^2x[(x+1)^2-2(x+1)\tan(x)-1]\\=\cos^2x(x+1-(\tan(x)+\sec(x)))(x+1-(\tan(x)-\sec(x)))$
La respuesta sin proceso se puede encontrar utilizando http://www.wolframalpha.com que implica un montón de función logarítmica natural, por lo que creo que la fracción parcial es la forma de hacerlo.
