Medida de la probabilidad en $(0,\infty)$

Question

¿Cuál puede ser una medida de probabilidad posible en $(0,\infty)$ ? Pon un ejemplo.

Para $(0,1)$ Se puede utilizar la medida de Lebesgue, que satisface fácilmente todas las propiedades de la medida de probabilidad. Pero cuando el conjunto es $(0,\infty)$ La medida de Lebesgue no estará en el rango de 0 a 1. Estoy pensando que algún mapeo de $(0,\infty)$ a $(0,1)$ podría hacer el truco. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Cualquier función integrable de Lebesgue $f:(0,\infty)\to[0,\infty)$ que no desaparece en casi todas partes puede convertirse en una medida de probabilidad $\mu_f$ en $(0,\infty)$ al establecer $$\mu_f(S):=\frac{\int_S\,f(x)\,\text{d}x}{\int_0^\infty\,f(x)\,\text{d}x}\text{ for every measurable set }S\,.$$
Toda medida de probabilidad absolutamente continua (relativa a la medida de Lebesgue) surge así.

Sin embargo, hay muchísimas otras medidas de probabilidad. Medidas continuas singulares sobre $(0,\infty)$ como la distribución de Cantor y las medidas de probabilidad discretas en $(0,\infty)$ son algunas de esas medidas de probabilidad que no tienen la forma $\mu_f$ para alguna función integrable de Lebesgue $f$ . Por supuesto, también se puede tener una combinación convexa de una medida de probabilidad absolutamente continua, una singular y una discreta.

Además, si se quiere una medida de probabilidad $\nu$ cuyo soporte esencial es precisamente $(0,\infty)$ entonces la parte absolutamente continua $\nu_\text{abs}$ de $\nu$ no puede ser $0$ (ya que los soportes esenciales de las medidas de probabilidad singulares y discretas son conjuntos nulos de Lebesgue). En otras palabras, $\nu_\text{abs}$ es de la forma $\nu_\text{abs}=\alpha\,\mu_f$ para algunos $\alpha\in(0,1]$ y para alguna función integrable de Lebesgue $f:(0,\infty)\to[0,\infty)$ que desaparece en un conjunto de medida de Lebesgue $0$ .