Ecuación de congruencia de números primos distintos $p,q$.

Question

Demostrar que, para los distintos números primos $p,q$: $$\tag{1} p^{q-1} + q^{p-1} \equiv{1} \pmod{pq}.$$

Este es un muy sencillo problema, lo sé, y aunque el estándar de prueba es más simple, me preguntaba si hay algún error en este ligeramente diferente.

Prueba: Deje $p$ $q$ ser números primos, con $p\lt q$. Por Fermat Poco Teorema, ya que $p$ $q$ son distintos: $$\begin{align} \tag{2} p^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}, \\ \tag{3} q^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.\end{align}$$ By $(2)$ and $(3)$, there are integers $k_1,k_2$ such that $$\begin{align} p^q-p +q^p-q=(k_1 +k_2)pq \\ \implies \tag{4} p^q+q^p\equiv p+q\pmod{pq}.\end{align}$$

Obviamente, $pq^{p-1} \equiv qp^{q-1}\equiv 0\pmod{pq},$, por lo que la adición de estos términos a $(4)$ da $$\tag{5} (p+q)( p^{q-1}+q^{p-1})\equiv p+q\pmod{pq} .$$

Desde $p+q\lt 2q\leq pq $, se deduce que el $pq$ $(p+q)$ son coprime, y así, de $(5)$, podemos concluir que $$p^{q-1}+q^{p-1} \equiv 1 \pmod{pq}.$$ $\square$

Answer 1

Su profesor es correcto.

O, desde $p\mid q^{p-1}-1$ y $q\mid p^{q-1}-1$ tenemos $$pq\mid (q^{p-1}-1)(p^{q-1}-1)$ $ que $$pq \mid p^{q-1}q^{p-1}-q^{p-1}-p^{q-1}+1$$ But since $$pq \mid p^{q-1}q^{p-1}$$ we have $% $ $pq\mid -q^{p-1}-p^{q-1}+1$y, por tanto, una conclusión.