Si$G$ es un grupo abelian, entonces$H=\{g\in G \mid |g| \text{ divides }12\}$ es un subgrupo de$G$

Question

$$H={g\in G \mid |g| \text{ divides }12}$$

Tenemos que demostrar que $H$ es un subgrupo de $G$.

Considerar el grupo y, $a\in G$ $\langle a \rangle$ donde $|a|=12$. Este grupo contiene órdenes de elementos de los cuales será dividir 12. Este es un subgrupo cíclico creo que esto debe ser igual a H, pero no estoy seguro de que no sé si G es finito.

Answer 1

Sugerencia: Podemos reescribir $H={g\in G\mid 12g=0}$. Por lo tanto, si usted puede mostrar que el mapa $g\mapsto 12g$ es un homomorfismo, entonces tienes que $H$ es el núcleo de un homomorfismo y por lo tanto, un subgrupo.

Answer 2

En lugar de buscar un ejemplo concreto como los grupos cíclicos, se puede demostrar de manera más general:

Indirecta: $H \le G$ si y sólo si

1) $H$ no está vacío.

2) $H$ es cerrado bajo la operación binaria de $G$.

3) $H$ es cerrado bajo inversas.