Identificar y dibujar $\operatorname{Re}(z^3)=1$

Question

Identifique y dibuje el lugar de $\operatorname{Re}(z^3)=1$ .

Intenté resolver el ejercicio así \begin{align*} z &= x+iy \\ z^3 &= (x+iy)^3 = x^3-3xy^2+i3x^2 y-iy^3 \\ \operatorname{Re}(z^3) &= x^3-3xy^2=1 \end{align*} Pero no consigo averiguar qué representa esta ecuación ni cómo dibujarla.

Answer 1

Escribir $z$ en coordenadas polares nos da $\operatorname{Re}(z^3)=r^3\cos(3t)$ . Hay un par de cosas interesantes a tener en cuenta sobre la ecuación $$r^3\cos(3t) = 1.$$

En primer lugar, si $\cos(3t) = 0$ , $r$ explota hasta el infinito. Como las raíces de $\cos$ son $\pi/2 + k\pi,\ k\in\mathbb Z$ , obtenemos que $r$ explota hasta el infinito para los ángulos $\pi/6 + k \pi/3,\ k\in\mathbb Z$ . Visualmente:

Las líneas rojas serán las asíntotas de nuestro gráfico. También resultan ser lugares donde $\cos(3t)$ cambia de signo. Esto es importante ya que $r$ debe ser positivo. Por lo tanto, nuestro gráfico estará en las áreas con $+$ signos:

Aprovechemos ahora las simetrías de la ecuación $\operatorname{Re}(z^3)=1$ (ya deberían ser visibles en la imagen anterior).

• Simetría rotacional : Si $\omega = e^{i\frac{2\pi}3}$ entonces $\omega^3 = 1$ y la multiplicación por $\omega$ es la rotación por $120^\circ$ . Si $z_0$ es una solución a la ecuación, entonces $$\operatorname{Re}((\omega z_0)^3) = \operatorname{Re}(\omega^3z_0^3) = \operatorname{Re}(z_0^3) =1,$$ así que $\omega z_0$ también es una solución. Concluimos que nuestro gráfico tiene simetría rotacional. (Como alternativa, utilice $\cos(3(t + 2\pi/3)) = \cos(3t + 2\pi) = \cos(3t)$ )

• Simetría de reflexión : Si $z_0$ es una solución, entonces también lo es $\overline{z_0}$ : $$\operatorname{Re}(\overline{z_0}^3) = \operatorname{Re}(\,\overline{z_0^3}\,) = \operatorname{Re}(z_0^3) = 1.$$ Por lo tanto, nuestro gráfico es simétrico con respecto al eje real.

(Nota al margen: si sabes algo de teoría de grupos, estas simetrías generan el grupo diédrico $D_3$ )

Por último, hay que tener en cuenta que $0\leq\cos(3t)\leq 1$ implica que $r^3\geq 1$ . También, $z_0 = 1$ es una solución obvia.

Utilizando toda esta información, conseguimos que nuestro gráfico tenga el siguiente aspecto:

Answer 2

No sé si estoy entendiendo bien tu pregunta, pero puedes utilizar coordenadas polares, de manera que

$$ z^3 = r^3 e^{i3\theta}$$

implica que $Re(z^3) = r^3\cos(3\theta)$ . Por lo tanto, el lugar de todos los puntos que satisfacen de $r^3\cos(3\theta)$ es una construcción de "triple molinete" que tiene como distancia máxima al origen es $(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}$ . Deberías ser capaz de mostrar esto usando las habilidades de trazado polar de la escuela secundaria, o consiguiendo una pista y poniéndola en mathematica.