Si $f(x)<g(x)$ puede $ \int_a ^b f(x)\,dx = \int_a ^b g(x)\,dx$ ?

Question

No pude encontrar nada en Internet que me aclarara esto. Si $f(x)<g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ ¿Implica eso $ \int_a ^b f(x)\,dx \leq \int_a ^b g(x)\,dx$ o estrictamente $ \int_a ^b f(x)\,dx < \int_a ^b g(x)\,dx$ .

Me encontré con este problema mientras trataba de probar esto último usando la definición de integración de Riemann,

$$ \int_a ^b f(x)\,dx = \lim_ {n \to\infty } \left ( \sum_ {i=1}^n f(x_i)\, \Delta x \right )$$

Así que si $f(x) < g(x)$ para todos $x$ en $[a, b]$ y que $x_i \in [a,b]$ , $$f(x_i) < g(x_i)$$ $$f(x_i)\, \Delta x < g(x_i)\, \Delta x$$ $$ \sum_ {i=1}^n f(x_i)\, \Delta x< \sum_ {i=1}^n g(x_i)\, \Delta x$$

Aquí es donde está mi confusión. Sé que si $f(x)<g(x)$ en $[a, \infty ]$ Entonces $ \lim_ {x \to a} f(x) \leq \lim_ {x \to a} g(x)$ como en los límites podría seguir siendo igual. Eso, puedo entenderlo.

Aplicando $ \lim_ {x \to\infty }$ a ambas sumas de Riemann, esto implica que $ \int_a ^b f(x)\,dx \leq \int_a ^b g(x)\,dx$ . Esto parece sugerir que las integrales podrían ser iguales. Pero no puedo entender, intuitivamente, por qué es así. ¿Hay un ejemplo de dos funciones con desigualdades estrictas pero integrales iguales. O, si es el caso de que las integrales no pueden ser iguales entre sí, ¿hay una prueba más clara de ello? Gracias.

Answer 1

Si una función es estrictamente menor que otra en cada punto de un conjunto cuya medida es positiva, entonces sus integrales sobre ese conjunto no son iguales.

Considere el conjunto de puntos $x$ en el cual $ \dfrac 1 {n+1} < g(x)-f(x) \le \dfrac 1 n$ para $n=1,2,3, \ldots $ y el conjunto de puntos $x$ en el cual $g(x)-f(x)>1.$ La unión de esos conjuntos es el dominio completo, por lo que la medida de al menos uno de ellos es más que $0.$ Y la integral de $g-f$ sobre ese conjunto es más que $1/(n+1)$ por la medida de ese subconjunto del dominio, así que es positivo.

Usando el enfoque de Riemann, esto parece más complicado, aunque sería más fácil si se asumiera la continuidad.

Answer 2

Deje que $g(b') > f(b')$ .

$$ \int_a ^b (g(x)-f(x)) \, dx \geq \inf_ {x \in A} (g(x)-f(x)) \mu (A).$$ Por lo tanto $ \int_a ^b (g(x)-f(x)) \, dx > 0 $ a menos que $ \inf_ {x \in A} (g(x)-f(x)) = 0$ para cada conjunto medible $A$ con medida no cero. En particular tomar $A$ para ser intervalos $[a',b'] \subset [a,b]$ y dejar $a' \rightarrow b'$ y desde que $ \lim_ {a' \rightarrow b'} \inf_ {x \in [a',b']} (g(x)-f(x)) = 0$ implica $g(b')=f(b')$ para funciones continuas, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto $ \int_a ^b (g(x)-f(x)) \, dx>0 $ para las funciones continuas.

Answer 3

Deje que $ \mathscr {P}_n=\{a=x^n_0<x^n_1< \ldots <x^n_k< \ldots <x^n_n\}$ ser una secuencia de particiones de intervalo $[a,b]$ de tal manera que $x_{k}^n-x_{k-1}^n= \frac {1}{n}$ para todos $k \in\ {1, \ldots ,n\}$ y todos los enteros $n>1$ . Tenemos para todos $n$ \begin {alinear} \int_a ^b g(x) \mathrm {d} x - \int_a ^b f(x) \mathrm {d}x =& \int_a ^b g(x)-f(x) \mathrm {d} x \\ \geq & \sum_ {k=1}{n} \inf_ {x \in [x_{k-1}^n,x_{k}^n]}(g(x)-f(x)) \cdot \frac {1}{n} \\ \geq & \sum_ {k=1}{n} \min_ {1 \leq k \leq n} \left ( \inf_ {x \in [x_{k-1}^n,x_{k}^n]}(g(x)-f(x)) \right ) \cdot \frac {1}{n} \\ =& \min_ {1 \leq k \leq n} \left ( \inf_ {x \in [x_{k-1}^n,x_{k}^n]}(g(x)-f(x)) \right ) \sum_ {k=1}{n} \frac {1}{n} \\ =& \min_ {1 \leq k \leq n} \left ( \inf_ {x \in [x_{k-1}^n,x_{k}^n]}(g(x)-f(x)) \right )>0 \\ =& \inf_ {x \in [a,b]}(g(x)-f(x))>0 \end {alinear}