Ecuación funcional relacionada con$\sin$:$f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$

Question

Encontrar todos los diferenciable $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tal que $$\forall (x,y)\in \mathbb R^2, f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$$

Es fácil comprobar que la única constante de la solución es $0$ y el único polinomio solución es $x\mapsto x$. Además, también es fácil comprobar que $\sin$ es una solución, así como la $\sinh$. Más generalmente, $x\mapsto \frac {\sin(ax)}{a}$ $x\mapsto \frac {\sinh(ax)}{a}$ son soluciones.

Establecimiento $x=y=0$ rendimientos $f(0)(1-2f'(0))=0$.
Dejando $y=0$, se obtiene el ODE $ f(0)f'(x)+(f'(0)-1)f(x)=0$.

Si $f(0)\neq 0$, $f'(0)=\frac 12$ y esto se resuelve fácilmente como $x\mapsto \frac {\exp(ax)}{2a}$
Si $f(0)=0$, $f'(0)\neq 1$ y, a continuación, $f=0$ o $f'(0)=1$ y la educación a distancia es ahora inútil.

¿Cómo debo continuar ? Hay otras soluciones ?

Answer 1

Con $y=0$ obtener $f(x)=f(x)f'(0)+f'(x)f(0)$.

Si $f(0)\ne0$, obtenemos $f'(x)=\frac{1}{f(0)}f(x)(1-f'(0))$. El caso de $f'(0)=1$ rendimientos $f'(x)=0$, lo $f$ es constante $c$, lo que implica $c=0$: una contradicción.

Si $f'(0)\ne1$, podemos escribir $f'(x)=kf(x)$,$k\ne0$, lo $f(x)=ae^{kx}$ ( $a\ne0$ ). La principal relación ahora es $$ ae^{k(x+y)}=ae^{kx}ake^{kj}+ake^{kx}ae^{kj} $$ que implica $1=2ak$. Esta es una solución.

Si $f(0)=0$, la ecuación se convierte en $f(x)=f(x)f'(0)$ o $(1-f'(0))f(x)=0$. Si $f'(0)\ne 1$, se obtiene la constante de $0$ función.

Si $f(0)=0$$f'(0)=1$, el negocio se convierte en interesante.

Desde $f'(0)\ne1$, la función no es constante, por lo que no es$y_0$$f(y_0)\ne0$. En particular, para todos los $x$, $$ f'(x)=\frac{1}{f(y_0)}(f(x+y_0)-f(x)f'(y_0)) $$ que muestra $f'$ es derivable (y también que $f$ es infinitamente diferenciable). Así, podemos diferenciar la principal relación con el respeto a$x$$y$: \begin{align} f'(x+y)&=f'(x)f'(y)+f''(x)f(y) \\ f'(x+y)&=f(x)f''(y)+f'(x)f'(y) \end{align} que implica $f(x)f''(y)=f''(x)f(y)$. Por lo tanto, para todos los $x$, $$ f"(x)=rf(x) $$ donde $r=f''(y_0)/f(y_0)$.

Esta es una sencilla ecuación diferencial.

Answer 2

Sólo lo que sugiere un enfoque. Su claro que su infinitamente diferenciable. Que $f$ ser analítico. $f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i (x-a)^i$.

Entonces implica $f(x+y) = f(x) f'(y) + f'(x) f(y)$

$\sum_{i=0}^{\infty} ai (x+y-a)^i = (\sum{i=0}^{\infty} ai (x-a)^i)(\sum{i=1}^{\infty} i ai (y-a)^{i-1}) + (\sum{i=0}^{\infty} ai (y-a)^i)(\sum{i=1}^{\infty} i a_i (x-a)^{i-1})$.

Ahora solucionar para $a_i$.

Por ejemplo: que $a=0$. ajuste del $x=0,y=0$

$a_0 = a_0 a_1 + a_0 a_1$.

Por lo tanto, $a_1 = \frac{1}{2}$ o $a_0=0$.

Ahora set $a=0,x=0$: conseguimos $\sum_{i=0}^{\infty} a_i y^i = a0 \sum{i=1}^{\infty} i a_i y^{i-1} + a1 \sum{i=0}^{\infty} a_i y^{i}$

Por lo tanto % por lo tanto, la $a_i = (i+1) a0 a{i+1} + a_1 ai$$a{i+1} = \frac{a_i(1-a_1)}{(i+1)a_0}$. (Suponiendo que $a_0 \neq 0$)