Trucos de integración inteligentes

Question

Estoy en el último año de mi escuela y he estudiado integración este año

He realizado varias técnicas de integración como la integración

1. Por sustitución
2. Por fracciones parciales
3. Por partes
4. Trigo. sustituciones
5. Sustitución de medio ángulo tangente y muchos otros métodos básicos de integración.

Así que quería preguntar sobre algunos trucos de integración que podrían resultar bastante útiles.

No es algo avanzado que se enseñe en los estudios superiores Pero algunos trucos de integración inteligente sólo a nivel escolar.

Answer 1

Si buscas más problemas de práctica, busca los problemas de MIT Integration Bees. Algunos de sus problemas son algo fáciles, pero hay bastantes joyas.

Además, recomiendo encarecidamente el libro de Paul Nahin Dentro de las integrales interesantes . Este libro está increíblemente bien escrito y es un placer leerlo. No es exactamente lo que pediste, porque al final va más allá de las matemáticas de la escuela secundaria. Sin embargo: los primeros capítulos no requieren mucho más que las matemáticas de la escuela secundaria. Y en los últimos capítulos, Nahin introduce los conceptos necesarios.

Otras fuentes:

• Kokeboken integral ( http://folk.ntnu.no/oistes/Diverse/Integral%20Kokeboken.pdf ) Está escrito en un idioma que no entiendo, pero hay muchos problemas de práctica divertidos.
• Técnicas avanzadas de integración ( http://advancedintegrals.com/advanced-integration-techniques.pdf ) No me gustó tanto como el libro de Nahin, pero cubre algunas de las mismas cosas, y tal vez sea más de tu agrado.

Answer 2

Veo que nadie ha mencionado la sustitución de Euler. Así que voy a seguir adelante y añadir que aquí. Una sustitución de Euler es esencialmente un tipo de sustitución algebraica para evaluar integrales de la forma $$\int\mathrm dx\, R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)$$

Primera sustitución de Euler: Si $a>0$ entonces haga la sustitución $$\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm x\sqrt a+t$$ donde se puede elegir tanto el signo positivo como el negativo.

Segunda sustitución de Euler: Si $c>0$ entonces deja que $$\sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm\sqrt c$$ Resolver para $x$ y diferenciar para encontrar lo que $\mathrm dx$ es igual a. $$x=\frac {\pm2t\sqrt c-b}{a-t^2}$$

Tercera sustitución de Euler: Si el polinomio dentro de la raíz cuadrada tiene raíces reales $\alpha$ y $\beta$ , entonces dejemos que $$\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-\alpha)(x-\beta)}=(x-\alpha)t$$ Por lo tanto, $$x=\frac {\alpha\beta-\alpha t^2}{a-t^2}$$

Pongamos un ejemplo. Digamos que queremos evaluar la integral $$\int\frac {\mathrm dx}{\sqrt{x^2+1}}$$ Aquí, es evidente que $a=c=1$ y $b=0$ . Por supuesto, podemos usar la segunda sustitución, pero usaré la primera porque es más agradable. Tomemos $$\sqrt{x^2+1}=-x+t$$ Así que $$x=\frac {t^2-1}{2t}\qquad\qquad\mathrm dx=\frac {t^2+1}{2t^2}\,\mathrm dt$$ Por lo tanto, $$\int\frac {\mathrm dx}{\sqrt{x^2+1}}=\int\frac {\mathrm dt}t=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$$

Answer 3

Otro truco interesante es sumar diferentes formas de integrales para obtener una mucho más sencilla.

Por ejemplo, si dejamos que una función $f$ sea tal que $f(x)f(-x)=1$ y queremos evaluar $$I=\int_{-1}^1\frac1{1+f(x)}\,dx$$ entonces podríamos sustituir $x$ por $-x$ dando $$I=-\int_1^{-1}\frac1{1+f(-x)}\,dx=\int_{-1}^1\frac{f(x)}{1+f(x)}\,dx$$ y añadiendo da $$2I=\int_{-1}^1\,dx=2\implies I=1.$$

Answer 4

Un ejemplo muy sencillo que se me ocurre (varios de mis alumnos se han quedado boquiabiertos a primera vista con el siguiente ejemplo).

Encontrar la antiderivada (hay muchos ejemplos de este tipo) $$\int \frac{t}{t+1}dt $$ Sumas y restas $1$ en el numerador y voilá.

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Otra más. Teniendo en cuenta $\int \frac{1}{1+t^2}dt = \arctan t + C$ . Encuentra la antiderivada, por ejemplo, $$\int \frac{1}{9t^2 -6t +2}dt $$ Separar la parte cuadrada e integrar con respecto a $3t-1$ . Se simplifica para encontrar $$\frac{1}{3}\int \frac{1}{(3t-1)^2 +1}d(3t-1) $$

Answer 5

Tal vez algo así:

Calcular $\int\ln(x)\, dx$ donde el truco está en escribir $\int 1\cdot \ln(x)\, dx$ y luego utilizar la integración parcial.

Y otra, que probablemente ya conozcas son las integrales de esta forma:

$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx=\ln(|f(x)|)+c$

Que se utiliza en muchas otras integrales, a menudo combinadas con otros métodos.