Resolver una igualdad con 3 ecuaciones, y 3 variables

Question

La siguiente es la pregunta formulada en un reciente examen de aptitud:

Dado que : $$ a+b+ab=10\\ b+c+bc=20 \\ c+a+ac=30$$ ¿Cuál es el valor de $a+b+c+abc$ ?

Puedo resolverlo encontrando los valores individuales por: $$ a = \frac{10-b}{b+1} ,\\ c = \frac{20-b}{b+1}$$ Poniendo esto en la tercera ecuación: $$ \frac{10-b}{b+1}+\frac{20-b}{b+1} + \frac{(10-b)\times(20-b)}{(b+1)^2}=30\\ (30-2b)\times(b+1)+(b-20)\times(b-10)=30\times(b+1)\\{30\times(b+1)}-2b(b+1)+b^2-30b+200={30\times(b+1)}\\-2b^2-2b+b^2-30b+200=0\\-b^2-32b+200=0\\b^2+32b-200=0$$ Que se puede resolver a: $$b= \frac{-32+-\sqrt{32^2-4\times(-200)}}{2} \approx \frac{-32+-42.71}{2} = 5.35 \text{ or} -37.35 $$

Y podemos obtener los valores de $a$ y $c$ también: $$a \approx 9.157 \text{ or} -1.297\\ c\approx 2.30 \text{ or} -1.577$$ Aquí, el para las dos primeras ecuaciones, $b=-37.35$ , $a=-1.297$ y $c=-1.577$ obras. Mientras que la tercera ecuación se satisface con $a=9.157$ y $c=2.30$ . Esto no parece correcto. Dado que sólo un valor de $b$ funciona para las dos primeras ecuaciones, por lo que el otro valor de $b$ es rechazado. Esto también rechaza los valores derivados de $a$ y $c$ . Así, los valores positivos de $a$ y $c$ no debe utilizarse. Pero los primeros valores no satisfacen la tercera ecuación, pero los segundos sí. ¿Cuál es el problema aquí?

Además, ¿hay alguna forma más corta de resolver este problema?

Answer 1

Sólo hay que añadir una

Suma uno a cada ecuación y factoriza para obtener : $$ (a+1)(b+1) = 11 \\ (b+1)(c+1) = 21 \\ (a+1)(c+1) = 31 \\ $$

Ahora, pon $x ,y,z = a+1,b+1,c+1$ respectivamente, lo que da como resultado $xy = 11, yz = 21,zx = 31$ Así que $x^2y^2z^2 = 11 \times 21\times 31$ multiplicando estos.

Ahora divide esta ecuación por las otras ecuaciones de forma adecuada para obtener los valores de $x,y,z$ y utilizar el hecho de que $a+b+c + abc = x+y+z - 3 + (x-1)(y-1)(z-1)$ para obtener la respuesta.